Question

あ

積分(1)について。

286.〈面積の最小値>
a を a≧0 を満たす実数とし, xy 平面において不等式
0≦x≦e-1 かつ y{y-log(x+1)+α}≦0
の表す部分の面積をS(α) とする。
(1) S (α) を求めよ。
(2) S(α) の最小値を求めよ。
[20 神戸大・理系(後期)]

負 286 〈面積の最小値>
(1)αの値によって曲線 y=10g(x+1)-αとx軸の上下関係が異なるため、場合分けをす
る。
(2) S(a)はαの関数なので, S'(α) から S(a) の増減を調べる。
(1)0≦x≦e-1 において
0≦log(x+1)≦1
[1] 0≦a≦1のとき
S(α) は右の図の斜線部分の面積
であるから
ea-1
-Se {log(x+1)-a}dx
S(a)=-So
+fe{log(x+1)-a}dx
Jea-1
=(x+1)log(x+1)-x-ax]
y
|y=log(x+1)-a
ea.
e-1
x
+[(x+1)log(x+1)-x-ax
le-1
ea-1
◆各辺の自然対数をとる。
曲線y= log(x+1)-a
とx軸 (直線y=0)の上
下関係を調べるために必要
な情報となる。
曲線y=10g(x+1)-a
とx軸 (直線y=0)の上
下関係に注意する。
xel の範囲では
_log (x+1)-q≦0 となる。
←log(x+1)dx
=(x+1)^log(x+1)dx
として、部分積分を行う。
=2eª-(e+1)a-1
[2] α >1のとき
S(α) は右の図の斜線部分の面積であ
るから
S(a) = =-S'(10g(x+1)-a}dx
Jo
(x+1)log(x+1)-x-ax
1e-1
=-[(x+1)1
ax -
=(e-1)a-1
[1], [2] より
2e-(e+1)a-1 (0≤a≤1)
S(a) = {(e−1)a-1
pl°
(a>1)
y=lay(xxx/ - a α\ x= e−1
のときの高さの正負で
分ける
y=log(x+1)-α|
y=lay (x+1)
ワーム
ea-1
◆α> 1 のとき,
0≦x≦e-1 の範囲におい
てlog(x+1)-≦0 とな
る。
<a<=> 0≦alのとき
Sは第1、2象限
->1-α<o
<=>kaのとき
Sは第2象限だけ
ey
数学重要問題集(理系)
263

Y { 4- leg (2+1) + α }
4
+al
€ 0
の扱いに関する解説がないのですが、
(
5(9/17 (0≤xse-1
この「y」は何を指しているのですか?
4{4 - log(2+1) + 0} = 0 Fasten
また、どうして何の記述もないまま、1= log(x+1)
1= log(x+1)-ax軸が成す面積
がS()になったのですか?

Answer 1

和

数Ⅱの図形と方程式で、
似たようなことはやっていると思います