テーマ 17 ベクトルの等式と点の位置
7 ベクトルの図形への応用
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応用
△ABCと点P に対して, 等式 4PA+5PB+7PC=1 が成り立つ。
(1)AP を AB,AC を用いて表せ。
(2)点Pは△ABCに対してどのような位置にあるか。
(3)面積の比△PBC:△PCA:△PAB を求めよ。
考え方 (1)点Aに関する位置ベクトルで考える。
(2)(1)の結果を変形して,AP=kxnAB+mAČ
の形を導く。
m+n
第1章 平面上の
(3)△PBQ: △PCQ=7:5であるから, △PBQ=7S, △PCQ=5S とお
ける。 △PBC, △PCA, △PABをSを用いて表す。
解答 (1) 等式から CAAP+5(AB-AP)+7(AC-AP)=0
よって
16AP=5AB+7AC
したがって AP=5AB+7AC
(2) AP=5AB+7AC
AQ=
16
4 12AQ
5AB+7AC
ApをAB,Acを用いて
表すため
とすると AP=2AQ
12
よって BQ QC=7:5, AP:PQ=3:1
したがって, 辺BC を7:5に内分する点を Q と
すると, 点P は線分AQを3:1 に内分する点
である。答
(3)△PBQ:△PCQ=BQ: QC=7:5
よって, △PBQ=7S, △PCQ=5S とおくと
B 7
△PBC=△PBQ+△PCQ=7S+5S=12S
△PCA : △PCQ=AP:PQ=3:1
△PCA=3△PCQ=3×5S=15S
また
よって
さらに
△PAB △PBQ=AP:PQ=3:1
よって
△PAB=3△PBQ=3×7S=21S
したがって △PBC: △PCA: △PAB=12S:15S:21S
=4:5:7答
ありがとうございます🙇♀️