教 p.98
6. 関数 f(x) =sinx について,次のことを数学的帰納法を用いて証明せよ。
f(x)=sin(x-
f(n) (x)= sin(x+1)
指針第次導関数の証明 三角関数で成り立つ等式のうち,
f'(x)=cosx=sin(x+
sin(x+1)
=sin (e+) を使うと,f(x) =cosx=sinl
cos0 = sin0+
f(x)={sin(x+2)}=cos(x+1)= sin(x+1)+= sin(x+2)
f(x)={sin(x+2)} =cos(x+2)= sin(x+2/+/2/2= sin(x+2)
となる。 数学的帰納法で, n=k (仮定) からn=k+1を導くときにも上と同様
の変形を考える。
NTT
解答 f(x) (x)=sinx+ 2
① とする。
[1] n=1のとき
f'(x)=(sinx)=cosx=sinx+
よって、 ①は成り立つ。
[2] n=kのとき①が成り立つ,すなわち
x= sin(x+2)
← cosasin0+
π
f(x)=sin(x+
sin(x+)
←右辺 = sinu
u=x+
であると仮定する。 この両辺を x で微分すると
kπ
2
kπ
f(k+1)(x)=cosx+ 2
←(x+)=1
=sin(x+⋅
{(x+
kπ
+
2
(k+1)π
}
=sinx+ 2
よって, n=k+1のときも ①は成り立つ。
[1] [2] から すべての自然数nについて ①が成り立つ。 終
理解することができました
ありがとうございました！🙇♂️