Question

波瑠

数学的帰納法の証明問題です。解答の緑の式までは解けたのですが、そこから水色の式への変形の仕方が分かりません。可能であれば途中式も交えて解説お願いします。

nは自然数とする。 数学的帰納法によって,次の等式を証明せよ。
*(1) 1+2•
1 +2.12.3 +3(23) +.
3\n-1
+m
2
+n '=2(n-2)(2)"+4
(2)(n+1)(n+2)(n+3)･････(2n)=2"•1･3･5………………(2n-1)

m2(1)1+2.12/23 +3.
1+2･
32
3\1
+
·+n.
2
=2(n-2)
+4
①
とする。
[1] n=1のとき
左辺=1,右辺 =2(-1)・12/23+4=1
よって, n=1のとき, ①は成り立つ。

[2] n=kのとき ①が成り立つ, すなわち
3
1+2・ +. +k
3
1+2++(2)=2*-2(2)+4
②
と仮定する。 n=k+1のとき, ① の左辺につ
いて考えると,②から
3-1
1+2+
... + kl
'+(k+1)(2/2)
3
=2(k-2)
+4+(k+1)
(3k-3)(2/2)+4=2(k-1)(
3\+1
+4
よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて ① は
成り立つ。
(2) (n+1Xn+2)(n+3)..
=2".1・3・5....... (2n-1)
とする。
[1] n=1のとき
左辺 =1+1=2,
-(2n)
①
右辺 =2.1=2
よって, n=1のとき, ① は成り立つ。
[2] n=kのとき ①が成り立つ, すなわち
(k+1)(k+2)(k+3)........ (2k)
=2・1・3・5........ (2k-1) ...... ②
と仮定する。
n=k+1のとき, ① の左辺について考えると,
②から
(k+2)(k+3)
(2k) (2k+1)(2k+2)
=(k+2)(k+3)・ (2k) (2k+1)-2(k+1)
=2(k+1)(k+2) (k+3)........ (2k)(2k+1)
=2k+1.1.3.5... (2k-1)2k+1)
よって, n=k+1のときにも ①は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて ① は
成り立つ。

Answer 1

🍇こつぶ🐡

画像参照

Answer 2

和

何から何を示すかが明確になっていないことが
原因の一つかと思います