Question

Kei

（３）の絶対値あるバージョンのガウス記号で、連続か不連続かを調べるやつが分かりません。絶対値の場合の考え方がいまいちよく分かりません！教えてください

✓ 108 次の関数f(x) が, x=0 で連続であるか不連続であるかを調べよ。
(1) f(x)=√x + 2
*(2) f(x)=[x] *(3) f(x)=[-|x|]

(3) -1≦x< 0,
0<x≦1 のとき,
10である
から
[-|x|]=-1
よって
limf(x) = lim f(x)
x+0
また
ゆえに
011X
=-1
f(0)=0
limf (x) ≠f(0)
x-0
yt
y=[-|x|]
-2-1 O
-2 -1 0 1 2
-1
-2
したがって, f(x)はx=0 で不連続である。
x

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ふぃる

x→aのときのf(x)の極限を考える時、x=aの近くで(x=a丁度のところは考えなくて良い)f(x)がどう近づくかを見ます
この｢近く｣は自分が好きなように狭くしてokです。

(3)の場合、-1<x<0,0<x<1で考えるとガウス記号が外せるのでこうしています。(0<x<1/2などもっと狭くしてもいいです)

-1<x<0のとき、[-│x│]=[x]=-1→-1 (x→-0)
0<x<1のとき、[-│x│]=[-x]=-1→-1 (x→+0)
よって、[-│x│]→-1 (x→0)
と求まります。

練習として、x→1も考えてみます
やはり0<x<1,1<x<2で分けます
0<x<1のとき、[-│x│]=[-x]=-1→-1 (x→1-0)
1<x<2のとき、[-│x│]=[-x]=-2→-2 (x→1+0)
よって、x→1のときの[-│x│]の極限は存在しない
となります

絶対値に限らずガウス記号の中身の関数を１回書いてみると考えやすいと思います。

Kei

ありがとうございます、やってみます🙏

Kei

すいません！1️⃣青で囲ったところ1個目はいつも通りの<＝でわかるんですけど、②個目の青って絶対値だから< =1になってるんですか？2️⃣赤の部分ってどう青の式をやれば赤になるんですか？教えてください🙇🙇

ふぃる

1️⃣絶対値は関係ないです。x=-1や1も[-│x│]=[-1]=-1なのでその議論に含めて良いです。ちなみに先に書いた通り、0の近くは自分で狭くしていいのでそのような細かいことを気にしたくなければ-1や1は除いて考えてokです
2️⃣言い換えると、定義域が-1≦x<0,0<x≦1の関数y=-│x│の値域を求めていることになるので、グラフを書けば分かります(画像参照)

Kei

分かりました！教えてくれてありがとうございます🙇🙇