Question

月

数学Ⅱの剰余の定理の問題です。（2）で、右写真の赤線部の意味がわからないので教えて欲しいです。

基礎問
44 第2章 複素数と方
26 剰余の定理 (III)
精講
(1)整式P(z) x-1, x-2, x-3でわったときの余りが,そ
れぞれ 6, 14, 26 であるとき,P(x) を (x-1)(x-2)(x-3)で
わったときの余りを求めよ.
(2)整式P(z) を (x-1)でわると, 2x-1余り, x-2でわると
5余るとき,P(x) を (x-1)(x-2) でわった余りを求めよ.
(1) 25 で考えたように,余りはax2+bx+c とおけます.あとは,
a, b, c に関する連立方程式を作れば終わりです。
しかし,3文字の連立方程式は解くのがそれなりにたいへんです。
そこで,25 の考え方を利用すると負担が軽くなります.
(2) 余りをax2+bx+c とおいても P (1) P(2) しかないので, 未知数3つ、
等式2つの形になり, 答はでてきません.

-2a-2b+26=6
-2a-b+26=14
Ja+6-10=0
l2a+b-12=0
a=2, b=8
TS
よって、 R(x)=(2x+8)(x-3)+26
=2x2+2x+2
注 (別解)のポイントの部分は,P(3)=R(3) となることからもわ
かります.
(2) P(x) を (x-1)(x-2) でわった余りをR(x) (2次以下の整式) と
おくと, P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+R(z) と表せる.
ところが,P(r) は (x-1)2でわると2x-1余るので, R(x) も
(x-1)2 でわると2-1余る.
よって, R(x)=x-1)2+2x-1 とおける.
:.P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+α(x-1)2+2x-1
P(2) =5 だから. α+3=5
.. a=2
よって, 求める余りは, 2(x-1)'+2x-1
すなわち, 2x²-2x+1
((1)(s)
ポイント
f(x)をg(x)h(x)でわったときの余りをR(x) とす
ると
f(x)をg(x) でわった余りと
R(x)をg(x) でわった余りは等しい
(h(x) についても同様のことがいえる)

数学 数学ⅱ 剰余の定理 複素数と方程式

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

割り切れるところはどうでもよく、
それ以外の部分だけを考えることになります

月

回答ありがとうございます。「R(x)を(x-1)²で割った余りが求める余り☆そのもの」の部分についてR(x)が余りのはずなのに、それを(x-1)²で割った余りが求める余りというのはどういうことですか？

月

自分の中でぐちゃぐちゃしてしまっているので、文章が分かりにくかったらすみません。

和

RはあくまでPを(x-1)²(x-2)で割った余りです
その式において、今度はPを(x-1)²で割っています
そのときの余りはRと変わる可能性があります

月

回答ありがとうございます。まだ理解できていないので、紙に自分が考えているところと分からないところを書いてそれを写真で送ってもいいでしょうか？

和

それはもちろんどうぞ

数でやっていることと同様です
285を100で割った余りは85です（285 = 100×2 +85）
285を20で割った余りは5で、
先ほどの余り85を20で割った余り5と合致します

285を20で割った余りは、
100×2 +85を20で割った余りに等しいです
このうち100×2は20×5×2なので、20で割り切れます
だから、100×2 +85を20で割った余りは、
残りの85を20で割った余りに等しいわけです

まだ割れるから割るのです
Rも(x-1)²でまだ割れる（可能性がある）から割ります
割れなければ（Rの次数が1次以下であれば）、
そのままRが(x-1)²で割った余りです

月

左側の写真が自分の考えていることとわからないことが書いてあって、右側の写真は多分違うやり方？でやっている方法で自分ができるやり方です。

月

あと「数でやっていることと同様です」ということについてですが、下の写真のようなことで合っていますか？

和

「わからないこと」がはっきりしていないように感じます
特に、左の写真の②から始まる青字の1文が何なのか、
よく理解ができません
要は、最初の疑問が進展なしということでしょうか

すぐ上の、数での比喩を見て、いかがでしょうか？
まったく同様のことかと思いますが…
その上で、どのあたりが腑に落ちない感じでしょうか

右側の写真の方法はまったく問題ありません

和

3枚目の写真については、そんなようなことです

ただ、「割られる数÷割る数=商……余り」
という書き方は正確でないうえ、
今回のことの理解の妨げになるのでやめた方がいいです
「割られる数=割る数×商+余り」でちゃんと書きましょう

もう少し小さい例で、図解しました

和

解法の暗記といえば暗記ですが、
数における余りの理屈がわかったなら、
式におけるこの処理は、もはや暗記ではなく
自然なこととして処理できるはずですが…

上で出てきた「あなたができるやり方」
と同程度の自然さですかね
あれが自然にできるなら、
これも自然にできると思います
あれを「そういうもの」と手順を覚えたなら、
これも同様に方法を押さえてください

月

了解しました。中々理解することができず、すみませんでした。あと、教えてくれて本当にありがとうございます。