参考・概略です
「この数列の求め方を教えてください」とありますが
(2/3)Ｓ＝1＋(1/3)＋(1/3²)＋･･･＋(1/3ⁿ⁻¹)－(n/3ⁿ)
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Ｓ＝{3ⁿ⁺¹－2n－3}/{4･3ⁿ⁻¹}
という式が、書いてあるだけです
どの様な問題で、どのようなもの求めるのでしょうか
赤線のところが等比数列とお分かりになっているようなら
公式の運用と計算で引っかかっておられるという事ですね
①赤線の等比数列の和が
1＋(1/3)＋(1/3²)＋･･･＋(1/3ⁿ⁻¹) から
＝1＋(1/3)＋(1/3)²＋･･･＋(1/3)ⁿ⁻¹ で
初項a＝1、公比r＝(1/3)，項数nがわかるので
●等比数列 a＋ar＋ar²＋･･･＋arⁿ⁻¹ の
和Ｓ＝a(1－rⁿ)/(1－ｒ)
に代入した結果(分子・分母を別に書きます)
分子：a{1－rⁿ}＝1ー(1/3)ⁿ
分母： {1－r} ＝1－(1/3)
と3行目の前の式になります
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更に、分母が(2/3)となり
分数は、分子÷分母であるころから
{1ー(1/3)ⁿ}÷(2/3) で
＝{1ー(1/3)ⁿ}×(3/2)
＝(3/2){1ー(1/3)ⁿ}
と４行目の前の式になります
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わかりやすい説明ありがとうございます😭
5行目、6行目の解説もお願いしたいです🙇♀️
②赤線部分が終わったので、赤線の後の部分を添えて
4行目の式全体になります
【次の処理のため、(1/3)ⁿ＝(1/3ⁿ)とします】
(3/2){1ー(1/3ⁿ)}－(n/3ⁿ)
展開・整理して、３つの分数にします
＝(3/2)ー(3/2)・(1/3ⁿ)－(n/3ⁿ)
＝(3/2)ー{3/(2・3ⁿ)}ー(n/3ⁿ)
3つの分数の分母が｛2，(2・3ⁿ)，3ⁿ}なので、
(2・3ⁿ)に分母を統一します(通分)
㋐(3/2)＝(3/2)×(3ⁿ/3ⁿ)
＝(3・3ⁿ)/(2・3ⁿ)
＝(3ⁿ⁺¹)/(2・3ⁿ)
㋑3/(2・3ⁿ)＝(3)/(2・3ⁿ)
㋒(n/3ⁿ)＝(n/3ⁿ)×(2/2)
＝(2n)/(2・3ⁿ)
分母が揃ったので、分母を1つにして、分子を並べます
{(3ⁿ⁺¹)＋(3)＋(2n)}/(2・3ⁿ)
分子{}内を整理
{3ⁿ⁺¹＋2n＋3}/(2・3ⁿ)
と5行目の式になります
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最後に、5行目の式が、(2/3)Ｓ＝ の式なので
(2/3)Ｓ＝{3ⁿ⁺¹＋2n＋3}/(2・3ⁿ) となり
両辺を(2/3)でわり、つまり(3/2)倍して
Ｓ＝{3ⁿ⁺¹＋2n＋3}/(2・3ⁿ)×(3/2)
このとき、{}内はいじらず
＝{3ⁿ⁺¹＋2n＋3}×[1/(2・3ⁿ)×(3/2)] として
●[1/(2・3ⁿ)×(3/2)]＝{1×3}/{(2・3ⁿ)×2}
＝3/{4・3ⁿ}
★指数法則より、3/3ⁿ＝1/3ⁿ⁻¹ で
＝1/{4・3ⁿ⁻¹}
とっておいた、{3ⁿ⁺¹＋2n＋3}を考え
Ｓ＝{3ⁿ⁺¹＋2n＋3}×1/{4・3ⁿ⁻¹}
Ｓ＝{3ⁿ⁺¹＋2n＋3}/{4・3ⁿ⁻¹}
と6行目の式になります
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補足【3/3ⁿ＝1/3ⁿ⁻¹について】
3＝(1/3)⁻¹，1/3ⁿ＝(1/3)ⁿ より
(1/3)⁽ⁿ⁻¹⁾＝1/3⁽ⁿ⁻¹⁾
1番上が問題で、そのの和のSを求めたいです。
S と、Sを1/3 倍したものの差が、2行目です。
赤の線のところが等比数列なので、3行目の形になると思うのですが、 1/3^n−I の形が変わっているところや、その後の分数を分数で割る計算がわからないので教えて欲しいです