Question

Ｙ

写真の問題の解説で3枚目の6行目に｢図より…｣という記述があります。解答のように図がかなり正確にかけていれば自分で図を見て判断できるかもしれませんが手書きの図だと直線に接してるときも最大になりうるのでは無いかと思えてしまいます。選択肢を全て計算して見るというのは大変だと思うのでそれ以外でなにか方法があればどのように判断すれば良いか教えてください。

194 *(1)実数x,yが3つの不等式y≧2x-5,y≦x-1, y≧0 を満たすとき,
x2+(y-3)2の最大値、最小値を求めよ。
(2) 座標平面において、2つの不等式 x2+v2≤A
[12 東京経大 ]

194 (1)x2+(y-3)2=k...... ① とおく。
k0 のとき, ① は xy平面上において,中心が
(0, 3), 半径が√の円を表す。
3つの不等式
y=2x-5
y≥2x-5,
y≤x-1, y≥0
A+
3
の表す領域 Dは右
y=x-1
の図の斜線部分の
D-
ようになる。
ただし,境界線を 0 1
15
4 x
2
含む。
大量
領域 Dと円 ①が共有点をもつときのんの最大
値, 最小値を求める。
①と直線 y=x- 1 ･･････ ② が接するときを考え
る。0から
②①に代入すると
x2+(x-4)2=k
整理すると
2x2-8x+16-k=0
......③
y=2x5/
sits o
3
y=x-1
この方程式の判別式を
D とすると, ①と②
が接するための条件は
52
'54
2
x
D=0
D
ここで 12=(-4)2-2.(16-k)=2k-16
4
であるから 2k-160
すなわち k=8

-
-8
このとき,③の重解はx=-
=2
4
②から
y=x-1=2-1=1
したがって, 接点は領域Dに含まれている。
ゆえに、 ①と② が接するとき,kは最小値8を
とる。
また,図より, kが最大となるのは、 ①が点
(4,3)または点(20)のどちらかを通るとき
である。v
①が点 (43) を通るとき
O k=42+(3-3)²=16
①が点 (12/20) を通るとき
(2/20)を通るとき
812
[S]
5 \2
k=
=(2)²+(0-3)² = 611
4
よって, kの最大値は 16
以上から,x2+(y-3)2は
x= 4, y=3で最大値16,
x=2, y=1で最小値 8
stat
(S)

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

いいえ、図が多少正確でなくても、
「直線に接するときより円が大きいときがある」
のはわかります

また、選択肢といっても、
接するときと交点を通るときの4パターンしかないので
さほど大変でもありません

Ｙ

理解できました！
ありがとうございます