Question

キト

空間図形、球体とベクトルの問題です。
この大問2なのですが、正四面体APQRの形に全く見当がつかなかった場合、APの長さをベクトルを使って気合で求めることはできますか？
自分ではやってみたのですが辿り着くことはできませんでした…

例題 10
① 三角錐 OABC があり、
OA=OB=OC=2, BC=CA=AB=1
とする. 辺 OB, OC 上にそれぞれ点P,Qを
l=AP+PQ+QA
が最小になるようにとる.
(1) Zの最小値を求めよ.
IP
(2) 三角形 APQ の面積を求めよ.
A
(3) 三角錐 OAPQ の体積 V」 と元の三角錐
OABCの体積Vとの比の値を求めよ.
B
(早稲田大)
②Sを半径1の球面とし, その中心を0とする, 頂点Aを共有し, 大き
さの異なる2つの正四面体 ABCD, APQR が次の2条件をみたすとする.
点 0, B, C, D は同一平面上にある.
点 B, C, D, P, Q, R は球面 S 上にある.
このとき, 線分AB と線分 APの長さを求めよ.
(大阪大)
考え方 11 展開図を利用して考える. ② 平面 BCD, 平面 ABO による切断面を利用.
【解答】
① (1) 右の展開図において,
△OABS△ABE.
OA AB
AB BE
BE=/12
2
2
1 E F 1
△OEF∽△OBC.
A
A'
M
EF OE
BC OB
12
1
EF=
B 1 C
.
AP+PQ+QAAA'-1+3+1-11.
(2)Iが最小になるのは P=E, Q=F のときだから,
AM-√1-(3)√5-11
8
AAPQ=12.AM-EF=1.155.3 3,55
284 64-
(3) A から OBC に下ろした垂線の足をHとすると,
1. AOEF.AH
3
V-1.AOBC-AH
3
・△OBCAH
9
=(x)=16
OE OF
OB OC
(答)
E(P)
A
M
(答)
F(Q)
P(E).
Q(F)
C
A
(答)
H
B

①2 (1) 右図において, 余弦定理より,
COS
22+22-12 7
2.2.2
8.
∴ cos 30=4cos 0-3 cose
0
060
2
2
A'
7
7
A
VEF
8-16-
>1
BIC
8.162
16・
(Zの最小値) = 1.
88
12≥(AA)²=2²+22-2.2-2.cos 30=8(1-cos 30)
=8(1-7
(2) EF=AA'-(1+1)=2.
121
… AAPQ=
Q=/12・1・1-sin24=122sing ・cos¢
-3.553/55
(答)
E(P)
3
8
4
A
HM
1
8 8
64.
(答)
F(Q)
8.
(3)
V₁
V
TOABF) V(DABC)
V(OAEF) V(OABF)
13
0
√55
OE OF
9
(答)
F
C
A
E
B
[2]
R
(i)
D
(ii),
/P
D
(ii)2
√3.
VE
O
1√√√2
B
0
B
0
B
B 30°
C
F
(i) 三角形 BCD は, 点0を通る平面と球面Sの交線である半径1の円に内
接する正三角形である.
∴BC=20B cos 30°=√3. :.AB=BC=√3.
(答)
(正四面体 APQR と正四面体 ABCD において, A, P, B は一直線上にあ
るとしてよい。上図 (i) において, ABO AOBH
.
AB:BO=OB:BH.
BO2
.. BH=
1
AB
2
1
√3 √3
AP=AB-BP=√3-2BH=√3
(1)2 上図 (1)2において, EF を直径とすると, 方べきの定理より
APABAE・AF.
AP=
AB
AEAF__ (√2-1)(√2+1)
√3
1
3°
(答)

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

形に見当がつかないといいますが、
形は正四面体ですよね？
妥当な答案だと思います

できると思いますが、
難しいというか現実的ではないと思います

考え方は自由とはいえ、その方向で頑張ってみても
実入りは少なそうな気がします

思いつかないから、上手くない方針でゴリ押しする
というより、思いつく（というか考えた結果自ずとたどり着く）
ようにどう考えるか、を学ぶのが、
この問題では建設的だと思います

一般化して考えることのよさとか計算力よりも、
一般性を失わない範囲で考えやすい状況で考えることを
検討する力を問うている問題だと思います

キト

やはりこれでゴリ押しは厳しいのですね、ありがとうございます。
確かに1日置いてみたらADBC描いただけでも導けそうな気がしてきました。
問題の意図まで丁寧に解説していただきありがとうございます。