※以下、真ん中上から時計回りに数えます。
白赤赤青青青青と白青青青青赤赤は対称性がないですが、数珠のように繋げてひっくり返したら同じ順番になりますよね。
これらは（1）では別扱い（2通り）ですが、（2）だとひっくり返って同じなら同じもの（1通り）として扱われるので、対称性がないものは1つのパターンが2回カウントされています。
逆に白赤青青青青赤のように対称性があるものは（1）の時点で1回しかカウントされていません。（計3通り）
そのため、対称性がないものは全体15通りから対称性があるもの3通りを引いた12通り、この12通りのうち半分は、上記のようにひっくり返したら同じものになってしまうのでカウントすべきは半分の6通り。
よって、対称性がある3通りと、対称性がない6通りの併せて9通りという感じです。
文で書くとなかなか伝わらないかもしれませんが伝わろますでしょうか？
