Question

i

数学的帰納法で、n=k+1の証明でn=kで仮定した条件を用いて証明してもよいのでしょうか
n=k+1で自分は不等式を作り左辺に移項したあと「n=kの仮定より」みたいな感じで証明したのですけどこれが解答として正しいやり方なのか教えてほしいです

基本 例題 47
数学的帰納法と不等式の証明
423
00000
25 を満たす自然数nに対して, 22 が成り立つことを数学的帰納法に
よって証明せよ。
CHART & SOLUTION
数学的帰納法 (一般
[1] 出発点は n=1 に限らず
[2] n=k の仮定から n=k+1 の証明
この例題では,n≧5 であるから,まず
[1] n=1のときの代わりに [1] n=5のとき
を出発点とする。
420 基本事項 1. 基本45
また, 不等式 A>B を証明するのであるから, A-B> を示せばよい。
解答
2">n2
......
① とする。
[1] n=5のとき
(左辺 =25=32, (右辺) =52=25
ゆえに,不等式① は n=5のとき成り立つ。
①
[2] k≧5 として,n=k のとき ①が成り立つと仮定すると
ときい)が成り立つと仮定
n=k+1 のとき,①の両辺の差を考えると
$50 (= 17
(左辺)=2+1
1章
5
数学的帰納法
2k+1_(k+1)=2.2-(k+2k+1)
>2k2-(k+2+1) +
(右辺)=(k+1)2
+2.2">2.k²
=k2-2k-1=(k-1)^2>05であるから
すなわち 2 +1(k+1)2
よって, n=k+1 のときにも不等式①は成り立つ。
[1] [2] から, n≧5を満たすすべての自然数nについて不等
式①は成り立つ。
(k-1)^2はk=5で
最小値 14 (>0) をとる。
INFORMATION
2 と n2の大小関係
関数 y=2*, y=x2 のグラフは右の図のようになる。
このグラフから2">n (n≧5) がわかる。
y.
16-
y=x2
これを繰り返すことに、
4F-
v=2
O
2
4x

Date
2h-10について、
(inzaとき、25-52-32-25=720より成り立つ。
Ginh すなわち、2ー1つが成り立つと仮定して、
n=kt1のとき、
2hti - (ht()² = 2.2"-12-2h-1
2
2 (2^-バ)+ゲー2h-1
=2.2-3-21-12.K2-h-2h-1
2-2-2K²
K
2 (2-k)
2h-1² 70 51%, n = h +1 Ext
0
> K2-20-1
>
10
(i)(ii)より、n35を満たす自然数のに対して2つが成り立つ。

数学的帰納法

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

正しいです

「n=k+1の証明でn=kで仮定した条件を用いて証明」してよいか
という質問ですが、
n=kのときの仮定は絶対に使います
使わないでn=k+1のときが示せるなら、
数学的帰納法自体がいりません

i

このように自分が書いた解答でも正解となりますか
チャートの解答とやり方が違うので不安で

和

私には、流れは同じにしか見えませんが…
「やり方が違う」と認識されているとのことですが、
そちらの方が少し心配です（変な意味じゃなく

念のため、書き入れました
大筋では模範解答と同じですが、
細かなところでは問題があります

i

確かに平方完成すればいいのに余計なことしてました
親切に解説してくれて助かりました！

Answer 2

𓆡

数学的帰納法で、n=k+1の証明でn=kで仮定した条件を用いて証明してもよいのでしょうか
→いいです。ですが2枚目の画像のとおりに書いたらほぼ確実に減点されそうです。少なくとも確実に言えるのは
>k²-2k-1
>0
はk²-2k-1>0を示せていないのでいきなり使ったら減点されると思います。