224 関数 f(x)=-x+12x+7のt-1≦x≦t+1 における最大値を求めよ。
f'(x) = -3x² +12 = - -3(x+2)(x-2)
f'(x) = 0 とおくと x=2,2
YA
よって, f(x) の増減表は次のようになる。
23
X
...
-2
2
...
f'(x)
0 + 0
f(x)
-9 > 23
7
・2
02
-9
ゆえに,y=f(x) のグラフは右の図。
ここで,f(t-1)=f(t+1) となるtの値は
-(t-1)+12(t-1)+7
= -(t+1) +12 (t + 1) + 7
整理すると
3-11=0
よって
t = ±
√33
3
グラフより最大値がf(t-1)=f(t+1) とな
るtの値は
√33
t =
3
(ア) t-
√33
のとき
3
f(x) は区間の左端で最大となり,その値は
f(t-1)=-(t-1)+12(t-1)+7
= t+3t°+9t-4
(イ)
N
33
≦t<1のとき
3
f(x) は区間の右端で最大となり,その値は
f(t+1)= -(t+ 1) + 12(t + 1) +7
=-13-312+9t+18
23
t+1
-2
t-1-
02
-9
t+1
10
X
t-1
7
t+1
O
x
√33
at=
のときは、最小
3
値がf(t-1)=f(t+1)
となるときである。
(ウ) 1≦t<3のとき
区間 t-1≦x≦t+1 に
23
f(x) は x=2で最大となり,その値は
x=2 が含まれるとき
f(2) = 23
t-1
02
(エ) 3≦t のとき
f(x) は区間の左端で最大となり,その値は
f(t-1) = -t + 3t + 9t -4
(ア)~(エ)より, f (x) の最大値は
t+1
O
x
t-1
/33
t<-
3≦t のとき -t + 3t° + 9t-4
3
33
≦t < 1 のとき
-
t-3t° + 9t + 18
3
1≦t<3 のとき
23
x=t-1のときに最大値
をとる (ア), (エ)の場合をま
とめる。
理解できました!有り難う御座います!