Question

淳華

解説お願いします。
数学的帰納法の問題です。
写真の紫マーカーのところで、nにk+1を代入するはずなのにnにkを代入しているようにみえます。
私はどこの部分で間違えた考えをしているのか教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

[頻出
例題 324 数学的帰納法 〔5〕… 漸化式から一般項を推定して証明 ★★★☆
a1 = -1, an+1
=an2+2nam-2 (n = 1, 2, 3, ...) で定められた数列
{a}について
(1) 2, 3, a をそれぞれ求めよ。
(2){a}の一般項を推定し, その推定が正しいことを,数学的帰納法を用
いて証明せよ。
思考プロセス
規則性を見つける
a1=-1
②より
a2=
⑦より
-
an = f(n) と推定
a4=
⑦ より
⑦ より
⇒ 推定が正しいことを数学的帰納法で示す。
[1] n=1のとき正しいことを示す。
[2] n=kのとき正しいと仮定して,
...=f(k+1) を示す。
koken=k+1のとき より 4k+1=...
noibA
Action» 複雑な漸化式で表された数列の一般項は,推定し数学的帰納法で示せ
解 (1) 与えられた漸化式に, n = 1, 2, 3 を順に代入すると
a2= a +2・1・α1-2=(-1)+2・(-1)-2=-3
as = az2+2・2・az-2= (-3)2+4・(-3)-2=-5
a = a32+2・3・α3-2=(-5)2+6・(-5)-2=-7
(2)よりan = -2n+1 … ① と推定できる。 hes I
[1] n=1のとき
a1 = -2・1+1= -1
よって, ① は n=1のとき成り立つ。
[2]n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると
ak = -2k+1
n=k+1 のとき,与えられた漸化式よりは
-Vaas
ak+1=ak2+2kak-2
=(-2k+1)2+2k(−2k+1)-2
= -2k-1
= −2(k+1)+1
よって,①はn=k+1のときも成り立つ。
[1], [2] より,すべての自然数nに対して,
a = -2n+1 が成り立つ。
{a} は, 初項-1, 公差
-2の等差数列であると
推定される。よって, そ
の一般項 α は
an=-1+(n-1) (2)
= -2n+1
と推定できる。
漸化式に仮定の式を代入
する。
①の右辺に n=k+1を
代入した形になっている
ことを明示する。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

数学むずすぎくん

漸化式はnとn+1の関係を表してるので、それはn-1とnも同じ関係になります。
問題文の紫マークに式はnとn+1との関係ですが、n-1とnの関係に変えて、n=k+1を代入している
なぜそうするかと言うと、nとn+1の式にn=k+1を代入すると左辺がa k+2になってめんどくさくなるから

淳華

理解出来ました。
ありがとうございます！