Question

tan_ⅰ

177(2)画像3枚目の解説で、β=2αを①に代入して①が円を表すかを確かめると書いてありますが、確認しなければいけないのは何故でしょうか

[16 千葉大・理系]
177. 〈方程式の解, w=f(z) の表す図形〉
iは虚数単位とする。
(4) 方程式 24-1 を解け。
(2)
αを方程式 24=1の解の1つとする。 複素数平面に点があって
|z-Bl=√2|z-α| を満たす点z全体が原点を中心とする円Cを描くとき, 複素数
βをαで表せ。
(3)点zが (2) の円C上を動くとき, 点izを結ぶ線分の中点はどのような図形を
描くか。
[15 鹿児島大 理系]
178. 〈円周上を動く点zとw=f(z)の表す図形〉
複素数平面上の点が原点を中心とする半径√2の円周上を動くとする。
(1) 複素数 w=
z-1
で表される点wの描く図形を複素数平面上に図示せよ。
z-i
ただし, iは虚数単位である。
(2)(1) の図形を,原点を中心にだけ回転して得られる図形を求めよ。
[17 静岡大・

試の
問題」
177 〈方程式の解 w=f(z) の表す図形〉
(1) 方程式 z = αの解は,次の手順で考える。
① 解を z=r(coso+isine) (r>0) とする。
② 方程式の左辺と右辺を極形式で表す。
なって
●詳し
解答
とめ
や考
2色
さら
した
47
解へ
※問題
つ公
※本書
いま
(対)
「対
実実実実実
③ 両辺の絶対値と偏角を比較する。
る。
zの絶対値rと偏角0 の値を求める。 0 は 0≦0<2mの範囲にあるものを書き上げ
(2)|z-Bl=√2|z-α| の両辺を2乗して, z-O=□の形に変形する。
(3)wを表し, (2) の結果を利用する。
(1) 方程式の解の極形式を z=r(cosO+isine) とすると
z4=r(cos40+isin40)
-1=cosz+isinπ であるから
r4 (cos 40+isin40)=cOSπ+isinπ
両辺の絶対値と偏角を比較すると
r4=1,40=z+2km (kは整数)
> 0 であるから
r=1
k
また 0 = +
―π
4
002 の範囲で考えると, k = 0, 1, 2, 3 であるから
π 3
5
7
0=
一π,
π
4'4
よって, 求める解は
√2+√2i -√2+√2-√2-√2i √2-√2i
z=
"
2
2
2
2
(2)|z-Bl=√2|z-α| の両辺を2乗すると
|z-BP2=2|z-al
よって
(z-B) (z-B)=2(z-a)(za)
整理すると
|22-(2a-B)z-(2a-B)z+2|a|-|B12=0
変形すると
{z-(2a-B)}{z-(2α-B)}=\2α-BP-2|a|+|B12
|z-(2α-B)=12a-BP-2|a2+B|
.. ①
すなわち
◆ド・モアプルの定理。
L
i
よって
ゆえに、点は点を中心とする
178 〈円周上を動く点とw=f(z)
(1) w=
z-1
z-i
からzをwで表して
(2)回転後も円の半径は同じなので
原点Oを中心に
(1)点zは原点を中心とする半径
1zl=√2 が成り立つ。
w=z-1
z-i
すなわち
から
w(z-i)=
x=
|2|=√2 に代入して
lwtil
すなわち 1w-11
両辺を2乗して
ゆえに
よって
ww-
ww
i(w+
w-
==
√2
Iw+ip
(w+i
-(2-i)w-
(2+i) w
|w-(2+i)2=
\w-(2+i)\=
これはw≠1 を満たす
したがって,点wの描
点2+iを中心とする
であり、右の図のよう
生
C

れに対して、
次のn個の
sin2kn
n
n-1)
点は原点を中心とする円上を動くから
すなわち
2a-B=0
B=2a
このとき,①は|zP=-2|al2+2a2 すなわち | z=2/αとなる。
また, (1) の結果より | =1であるから, 1 は
よって
z12=2
12=√2
一の
となり,点は原点を中心とする半径√2の上を動く。
よって
B=2a
■B=2α を ①に代入し,
Zの方程式 ①が円を表す
かどうかを確認する。
i+z
(3) w=
り z=2w-i
これを②に代入すると |2w-il=√2
✓2
よって
w
=
2
2
2w-i=√2 から
ゆえに、点は点 1/2を中心とする半径1の円を描く。
w 2
77
2
2
178 〈円周上を動く点とw=f(z) の表す図形〉
(1) w=
2-1
からzをwで表して, | z|=√2に代入する。
z-i
転後の円の中心を求める。 複素数平面上で, 点αを