Question

芽瑠

この問題教えてください

10. 第n群が2n-1個の数を含む群数列
2 3 4
6 7 8
5
9
1
"
3
3 3 5' 5' 5' 5' 5
10, 11, 12, 13, 14 15 16 17 ...
7, 7
7'
9
について考える,この数列の第n群の最初の数は
[ア] であり,第n 群の総和は イ である.
(23 愛知大)

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

きらうる

分母は1,3,5,7,9…となっているので、
n群の分母は2n-1

分子の各群の最初の数は、
1,2,5,10,17…となっているので、
階差数列になっていることがわかる。
各項間は、+1,+3,+5,+7となっているので、
階差数列の公式を使って
n≧2のとき
分子の数列＝1+Σ[k＝1～n-1](2k-1)
　＝1+n(n-1)-(n-1)
　＝n²-2n+2
n＝1のとき、1²-2+2＝1より、
n群目の最初の分子は、n²-2n+2
よって、
ア…(n²-2n+2)/(2n-1)

総和は分子だけ考えて、
n群の最初の分子は、(n²-2n+2)
最後の分子は、n-1群の最初の分子から-1した数なので、
n+1群の最初の分子
＝(n+1)²-2(n+1)+2
＝n²+1
n群の最後の分子は、n²

n群の分子の和は、項数が2n-1個、初項がn²-2n+2、末項がn²だから、
(2n-1)/2・(n²-2n+2+n²)
＝(2n-1)(n²-n+1)

よって、
イ…(2n-1)(n²-n+1)/(2n-1)
　＝n²-n+1

芽瑠

ありがとうございます！