Question

れもん

赤線部において、なぜ0と1を繰り返す数列の極限が発散すると分かるのですか？🙏🙇🏻‍♀️

コラム ~無限の和のパラドックス~
S=1-1+1-1+1-1+...
という,1と1を交互に足したような無限級数について考えてみましょう
この和を,次のように偶数番目と奇数番目をセットにして足してみます。
S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+...
=0+0+0+.･･
=0 ...... ①
「無限に0を足す」ことになるので,その和は0になりました.
次に,最初の1だけを残し、残りを奇数番目と偶数番目でセットにして足し
てみます.

72 第2章
S=1-(1-1)-(1-1)-(1-1)-
=1-0-0-0-...
=1 ...... ②
今度は,「1から無限に0を引く」ことになるのでその和は1となりました。
さらに,Sを2つ並べたものをずらして足し算すると,次のようになります。
打ち消しあう
S=1-1+1-1+1-1+...
+)S= 1-1+1-1+1-…
2S=1
よりS=1/2
同じSを求めているはずなのに、 ①〜③の異なる答えが出てきてしまいまし
た.どのやり方もそれなりに説得力があるように思えるのですが,いったいど
れが正しいのでしょうか.
このようなときは、定義に戻って考えることが大切です. 無限級数の定義と
いうのは、部分和の作る数列{Sn} の極限でしたよね. 「第1項目までの和」,
「第2項目までの和」 「第3項目までの和」 と, {Sm} を順に書き並べてみると
{S,}:1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0,
のように1と0が交互に繰り返す数列になります. この数列の極限は 「発散
(振動)する」のですから、無限級数Sは発散する (和は存在しない)というのが
正しい答えになります.つまり,上の①~③はすべて間違っていることになり
ます.
この話は,無限に対して私たちの直感がいかに役に立たないかということを
教えてくれます。有限の世界では当たり前にできることも、無限の世界ではで
きるとは限りません。 ①や②で行ったような「かっこをつけて足す順番を替
える」操作は,有限の和なら問題ありませんが、無限の和においては許されて
いません. また, ③のような計算は, 「和が存在すること」が前提となってい
ますが、無限の世界では,その 「和の存在」 自体が確かではないためやはりで
きないのです.
有限の常識は無限の非常識. 無限という得体のしれないものを扱うときは
直感ではなく「定義」 に基づいてものを考えるということを肝に銘じておきまし
しょう.

無限等比級数

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

mi-

0と1を繰り返すということは極限値が(一つに)定まらないということなのです。ある値に収束する以外の時はその数列の極限は発散するのでそのような答えになります。

れもん

理解出来ました✨️ありがとうございます🙏🙇🏻‍♀️