重要 例題 148 三角方程式の解の存在条件
0 の方程式 sino+acos0-2a-1=0を満たす 0 があるような定数a
00000
この値の範
基本145
囲を求めよ。
指針 まず 1種類の三角関数で表す
→→
cos0=xとおくと, -1≦x≦1 で、与式は
解答
(1-x2)+ax-2a-1=0 すなわち x-ax+2a=0 ①
よって、 求める条件は, 2次方程式 ① が -1≦x≦1の範囲に少なくとも1つの解をも
つことと同じである。 次の CHART に従って、考えてみよう。
2次方程式の解と数々の大小 グラフ利用 D, 軸, f(k)に着目
COS=x とおくと, -1≦x≦1であり, 方程式は
(1-x2)+ax-2a1= 0 すなわち x2-ax+2a=0... ①
この左辺 f(x) とすると, 求める条件は方程式 f(x)=0
1≦x≦1の範囲に少なくとも1つの解をもつことで
ある。
THE
検討
x2ax+2a=0をαにつ
いて整理すると
x=a(x-2)
(0-200-J)-よって, 放物線y=xと
これは, 放物線y=f(x) とx軸の共有点について 次の
[1] または [2] または [3] が成り立つことと同じである。
[1] 放物線y=f(x)が-1<x<1の範囲で, x軸と異な
る2点で交わる, または接する。
このための条件は、 ① の判別式をDとすると D≧0
a(a-8)≥0
D=(-a)2-4・2a=a(a-8) であるから
直線y=a(x-2) の共有
点のx座標が
-1≦x≦1の範囲にある
条件を考えてもよい。 解
答編 p.147 を参照。
[1]\
YA
よって
a≤0, 8≤a
......
中
<a
軸x=1/2について 1</12 <1から -2<a<2… ③
+
20
1
f(-1)=1+3a>0から a> - 11/13
④
3
f(1)=1+α>0
から
α>-1
[2]
y4
1
②~⑤の共通範囲を求めて
<a≤0
3
+
-1
[2] 放物線y=f(x) が-1<x<1の範囲で,x軸とただ
1
1点で交わり,他の1点はx <-1, 1<xの範囲にある。
このための条件は
f(-1)f(1)<0
ゆえに (3a+1) (a+1) <0 よって
1
-1<a<-
[3] 放物線y=f(x) がx軸とx=-1またはx=1で交わ
[=(0)
3
る。
f(-1) = 0 または f(1) = 0 から a=-
1
または α=-1
3
[1] [2] [3] を合わせて
-1≤a≤0
ya
00:
1.
100
[参考] [2] [3] をまとめて,f(-1)f(1) ≧0としてもよい。
練習 0 の方程式 2cos20+2ksin0+k-5=0を満たすのがあるような定数々の値の
④ 148 囲を求めよ。
