3つの不等式≧ 0, y≧0 2x+y/2n (nは目然数)で表さ
れる領域をDとする.
(1) Dに含まれ, 直線 x=k (k=0, 1, ..., n) 上にある格子点)
(x座標もy座標も整数の点)の個数をんで表せ。
(2) Dに含まれる格子点の総数をnで表せ.
精講
計算の応用例として, 格子点の個数を求める問題があります。こ
れは様々なレベルの大学で入試問題として出題されています。
格子点の含まれている領域が具体的に表されていれば図をかいて
上げることもできますが,このように, nが入ってくると数える手段を知ら
ないと解答できません. その手段とは,ポイントに書いてある考え方です。
ポイントによれば, 直線 y=k でもできそうに書いてありますが、 こちらを
使った解答は (別解) で確認してください。
解答
(1) 直線 x=k上にある格子点は
2n
x=k
(k, 0), (k, 1), …, (k, 2n-2k)
の (2n-2k+1) 個.
2n-2k
注 y座標だけを見ていくと, 個数がわかります.
(2)(1)の結果に,k= 0, 1, ..., n を代入して, すべ
て加えたものが,Dに含まれる格子点の総数.
0
I
n
2 (2n-2k+1)
22
=
k=0
n+1
{(2n+1)+1}
2
=(n+1)2
◆等差数列で
◆等差数列の和の公式
注 計算をする式がんの1次式のとき、その式は等差数列の和を
しているので、12/2(a+αm) (Ⅲ)を使って計算していますが、もら
ろん、(2n+1)-2々として計算してもかまいません。
k=0
「Σを使わずに表そう」ってなるのはなんでですか?
Σがk=0なのは関係ありますか？