Question

いとう

考え方の方針がわかりません
教えてください。

*279 自然数の組 (x, y, z)が等式 x2+y'=z2 を満たすとする。
(1) すべての自然数nについて, n2を4で割ったときの余りは0か1の
ずれかであることを示せ。
(2)xとyの少なくとも一方が偶数であることを示せ。
[類 13 早稲田大 ]

約数と倍数

Answer 1

あみあみ

(1)から、自然数の平方は、4で割るとあまりが0または1になることを示しておきます。
(2)では、xとyがとともに奇数の場合、その2乗の和が(1)で示した4で割ると余りが0または1にならないということを示します。そうすると、x、yがともに奇数の時、与えられた式を満たす自然数の組はないということになり、
必然的に、少なくともどちらか一方は偶数であるということになります。

画像の解答では、念のため一方が偶数のとき、両方が偶数のときのことも言及しておきました。