Question

r

2次関数の問題です。マーカーで引いた部分の数字が、どこから出てきたのかわかりません。教えてください！お願いします🙇

x0,y≧0 のとき,x,yの関数(x,y)=x^2-4xy+5y2+2y+2 の最小値を求めよ。 また、
EX
64
このときのx,yの値を求めよ。
[北星学潜大]
f(x,y)=x2-4xy+5y2+2y+2
={(x-2y)2-(2y)}+5y2+2y+2
=(x-2y)2+y2+2y+2
=(x-2y)2+{(y+1)2-12}+2
=(x-2y)2+(y+1)+1
x≧0, y≧0 のとき
y+1≧1, x-2y はすべての実数
よって
(y+1)2≧1, (x-2y)20
ゆえに
f(x, y)≥2
したがって, y+1=1, x-2y=0, すなわち
x=0, y=0で最小値2をとる。
y を定数と考え、xに
ついて基本形に変形。
y2次式も基本形に
変形。
x0,y≧ で場合
x-2yはすべての実数
値をとる。
f(x,y)≧0+1+1=2

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

あ

マーカーの部分は f(x, y)の最小値を計算しています。
f(x, y) = (x - 2y)^2 + (y + 1)^2 + 1　で、 (x - 2y)^2 ≧ 0 , (y + 1)^2 ≧ 1 なので、
f(x, y) の最小値は、0 + 1 + 1 = 2 です。

r

了解です！ありがとうございます！