Question

葵

急ぎです！！🙇🏻‍♀️
183は1回しか微分していないのに184はなぜ2回微分するのですか？？

B 問題
*183x>0のとき、次の不等式を証明せよ。
(1) 2x-x²<log (1+x)²<2x
*184 x>0 のとき, 次の不等式を証明せよ。
x2
(1) sinx>x-
2
(2)1+x
2
教 p.139 応用例題
->log ( 1+x)
(2) log(1+x)>x+xlog 2
x+2

->0
=20
10
2 x
ない
0<
2
-1 O
1
x
183 (1) f(x)=log (1+x)2-(2x-x2) とすると
2
f'(x)=- -2+2x=
1+x
x>0のとき f'(x)>0
2x2
1+x
よって, f(x) は x≧0で増加する。
ゆえに,x>0のとき f(x) >f(0) = 0
したがって, x>0のとき
f(x)>0
すなわち log(1+x)^2x-x2
g(x)=2x-log (1 + x)2 とすると
4
081
x)
g'(x)=2-
x>0のとき
2
2x
1+x 1+x
g'(x)>0
よって, g(x) は x≧0 で増加する。
ゆえに,x>0のとき g(x)>g(0)=0
0
したがって,x>0のとき
g(x)>0 すなわち 2x > 10g (1 + x ) 2
2x-x2 <log(1+x) <2x
ある。
これらより,x>0のとき
golx+x<+Digol
1+x
(2) f(x)=
- log (1+x) とすると
2
x-1
+4
なる。
181
A・B・C問題
f(x)=1/2-1+x=21+x) \ (1) 281
f'(x)=0とするとx=1x
x>0 における f(x) の増減表は次のようになる。
f'(x)
x
0
1
0
+
1-log 2 1
f(x)
よって, x>0 における f (x) の最小値は
f(1) =1-log2
110g 20であるから,x>0のとき
f(x)=f(1) > 0
したがって, x>0のとき
81+x
1+>
2
__ > log(1+x)
mala
6nta
xi-201
orig
1. Te

56
CONNECT 数学III
2
184 (1) f(x)=sinx
1
x-
x
2
ーーー) とすると
f'(x) =cosx-1+x
f" (x)=-sinx + 1≥0
f" (x) 20よりf'(x) は常に増加するから,
x>0のとき f'(x) >f'(0) = 0
よって, f(x) は x≧0で増加するから,x>0の
とき
f(x) f(0) = 0
2
()
したがって,x>0 のとき
S
Din x>x
x² 281
2
S
2
とすると
x+2
40x
(2)f(x)= log(1+x)(x+xlog
--1-log-
f(x)=1+x-1-108x+2+x+2
0 = (0) (1
=-
x+2
=1+*+ log ₤12-14-2
f'(x) =--
+
x+2
24-J
12(笑)
(1+x)2 x+2 (x+2)²
+
xr2+5x+5)
=
(x+1)(x+2)2
2+1
S=(x)'p
x>0のとき f'(x)>0
0<x
よって, f'(x) はx≧0で増加するから,x>0の
0:
とき f'(x) >f'(0) = 0
よって, f(x) は x≧0で増加するから,x>0の
とき
f(x)>f(0)=00<(x)
したがって,x>0のとき 0x
xx+2yol.
log (1+x) >x + xlog.
18+ (x+1+2+1
=(笑)

不等式の証明 微分

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ゆーき

文章で説明するのは少々難しいので上手く伝わるかわかりませんが頑張ってみます。
そもそもなぜ不等式の証明で微分を使うのか理解していますか？微分を使う理由は右辺と左辺の差が単調増加(または単調減少)しているかを調べたいからです。単に増加(または減少)するだけならxを大きくした時に減少に転換してしまう可能性があります(sinxなんかは0からπ/2まで「増加」はしますが単調増加する関数ではないのでその後減少しますね)。そのために単調増加(または単調減少)を調べます。すなわち、単調増加(または単調減少)がわかるまで微分をするということです。伝わりましたかね？笑

葵

分かりました！
ありがとうございます！！