Question

ゆう

【2】のn=k+1の時を考える時の波線しているところがわかりません。
教えてください。

基本 例題 55 等式の証明
nが自然数のとき, 数学的帰納法を用いて次の等式を証明せよ。
1・1! +2・2! + ••••••+n.n!=(n+1)!-1
*****
①
00000
①①①
|指針 数学的帰納法による証明は, 前ページの例のように次の手順で示す。
[1] n=1のときを証明。
[2] n=kのときに成り立つという仮定のもとで
n=k+1のときも成り立つことを証明。
[1], [2] から, すべての自然数nで成り立つ。
-
出発点
まとめ
[類 早稲田大]
P.498 基本事項
[2] においては, n=kのとき ① が成り立つと仮定した等式を使って、 ① の n=k+1
のときの左辺 1・1!+2・2!+・・・・・・ +kk!+(k+1) ・(k+1) が, 右辺 {(k+1)+1}!-1に
等しくなることを示す。
また,結論を忘れずに書くこと。
[1] n=1のとき
注意
は数学的帰納法
解答
(左辺)=1.1!=1, (右辺) = (1+1)!-1=1
よって, ①は成り立つ。
の決まり文句。 答案ではき
ちんと書くようにしよう。
[2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると
1・1! +2・2! + ••••••+k.k!=(k+1)!-1
n=k+1 のときを考えると, ② から
1・1! +2・2! +······+kk!+(k+1) ・(k+1)!
=(k+1)!-1+(k+1)(k+1)!
={1+(k+1)}(k+11-1
12_
(k+2) (k+1)-1=(k+2)1-12
={(k+1)+1}!-1
よって, n=k+1のときにも ①は成り立つ。
.....
②
kは自然数(k≧1)
<①でn=kとおいたもの。
<n=k+1のときの①の
左辺。
n=k+1のときの①の
右辺。
[1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。 結論を書くこと。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

1つ目の矢印
(k+1)!, -1, (k+1)×(k+1)!の3項の和ですが、
第1項と第3項を、共通の(k+1)!でくくっています

2つ目の矢印
まず1+(k+1)をk+2としています
次に、(k+2)と(k+1)!の積を(k+2)!としています

ゆう

わかりました。ありがとうございます