Question

みやこんぶ

ある問題の解説なのですが、底tが0より大きいか小さいかで分けるのはなぜですか？
指数関数で、1＜底、0＜底＜1で分けると習ったのですが、底が0より小さいときを考えることがあるのでしょうかる

(1)
210g 2>blog26
両辺はともに正であるから, 2 (1) を底とする両
辺の対数をとると
log22log 2 > log2 blog26
.. log2> (log2b)2
となる。ここで
t = log 2 b
とおくと
log 2 =
log 22
b
log26=1/2=11
t
であるから,②は
t-1>t2
と変形できる。
●t>0 のとき,④は
t3-1<0
∴
(t-1)(t2+t + 1) < 0
と変形でき, t2 + t + 1 > 1 > 0 より
t < 1
であり,これとt>0より, 0 <t <1である。
t<0 のとき,④は
t-1>0
..
. (t-1)(t2+t + 1) > 0
2
と変形でき, t2+t + 1 = t+
3
+
>0より
2
t>1
であり,これとt < 0より, tは存在しない。
以上より, ④を満たす t (t≠0) の値の範囲は
0<t<1(①)
である。 ③より
0<log2 b<1
..log 2 1<log 2 b<log 22
となるから、①を満たすbの値の範囲は
1<b<2 ( ① )

指数法則と指数関数 対数 対数関数

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

指数関数における処理で「1＜底、0＜底＜1で分ける」……①
からといって、
とにかく「底>0のときだけを考える」ではありません
それは拡大解釈です
①は関数と捉えるときの話かと思います

指数法則では底>0とは限っていません
(-2)³×(-2)⁴=(-2)⁷などはあり得ます

とにかく文字tが全実数をとるなら
tが負のときも当然議論には入れます

みやこんぶ

ありがとうございます。
確かに底が正であっても負であっても、指数の計算は当たり前にするな、と思いました。全く理解できていなかったのだとわかったのですが、関数と捉える時というのはどんな問題の時なんでしょうか…？何度もすみません🙇‍♀️

和

他の文字と関わるときは、
関数としての振る舞いを感じますかね

ともかく、1＜底、0＜底＜1で分けると
決め打ちしなければ済む話かと思います
底>0が問題で与えられていればそれに従うし、
そうでなければ底が負の場合も
想定してみれば良いと思いますね
その結果、不都合が生じれば却下
ということに自然となります

みやこんぶ

対数の場合も、関数と捉えるときは、真数条件として0より大きいことがあるだけで、底が負の数をとっていれば真数が負になることもあるのでしょうか？

和

対数は教科書にある通り
初めから底>0かつ底≠1と定義されています
教科書を読んでください