Question

てぃあ

m nを使った時に「自然数」って書くじゃないですか、その時に整数って書くか、有理数って書くか、自然数って書くか分からなくなります。何を見て決めればいいですか？

80 〈対数と無理数〉
10g1
10 2 +10g103は無理数であることを証明せよ。

80 〈対数と無理数>
ポイント
背理法で証明
結論 「10g 102+10g103 は無理数である」 が成り立たないと仮定し
て, 矛盾を導く。
->>>
10g102 + 10g103 が有理数であると仮定すると,
m
10g102+10g103= (m,nは互いに素な自然数) とおける。
=-
n
10g102+10g103 が無理数でない, すなわち有理数であると仮
m
定すると 10g102 10g103=
.
①
n
(ただし,m, nは互いに素である自然数)
と表される。
10g102 10g103=10g 106 であるから,① より
m
10g106=
n
両辺を乗すると Ad6"=10"
(23)
よって
6=10"
この両辺をそれぞれ素因数分解すると 2".3"=2".5m
よって、n=0 となり,m, nが自然数であることに矛盾
する。
4
したがって, 10g102+10g103 は無理数である。
2

対数 有理数 数ⅱ

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

その時々で考えてその都度決めます

この場合、log₁₀2やlog₁₀3は正だから
その和は正です……①

有理数と仮定したので整数/整数と書けます

さらに、①からm,nは、ともに正か、ともに負です
どちらでもよい、と自由度をもたせたままでも
問題がなければ、そのまま「m,nは整数(n≠0)」でいいです

とりあえずここを保留として先に進めます
m,nがともに負だと、
両辺をそれぞれ素因数分解して指数を比べるときに
面倒そうな気もします
そこでm,nを自然数としたという感じでしょうか…

てぃあ

なるほど！すごくわかりやすいです！ありがとうございます！！