Question

Rose

この問題の(1)から理解できません。
直線上を運動する点では時刻tにおける点Pの座標を表す式をtで微粉すれば速度になるのは分かります。
しかし、この問題で、なぜ残っている水の体積を微分すれば水面の下降する速さが求まるのでしょうか？

を表
で
80 上面の半径が5cm, 深さが15cm の直円錐形の容器に入
満たしてある。この下端の口から毎秒8cmの割合で水を
するとき 水の深さが10cmになった瞬間における次の速さ
求めよ。
(1) 水面の下降する速さ
(2) 水面の面積の減少

80 (1) t秒後の水の深さをhcm, 水面の半径を cm とすると
h
y: h=5:15
ゆえに1=333
5
30
よって, t秒後の水の量を Vcmとすると
V=1/1πr²h=17h³
3
27
2
15
dv π
両辺を微分すると
dt = 1 ½ h².
h2. dh
9
dt OAS
h
10
dv
毎秒8cm3の割合で排出するから
=-8
201
dt
00
dh
9
72
ゆえに
== -8.
of gol
dt
Th²
wh2
dh
72
18
h=10のとき
=
=
dt
π-102
gol>001S,
25π
200g
18
よって, 水面の下降する速さは
I
cm/s
25π
00AS
(2) t秒後の水面の面積を Scm とすると
S:
S=xr²=h²
I
2
001
両辺を tで微分すると
dS 2
dh
72
=
Th
=
=
dt
dt
Th²
16 ONS
h
00$$
>
ds
h=10のとき 4-10-15
よって, 水面の面積の減少する速さは
16
8
0012
=
dt
=
8
cm²/s=101.8.g
5

Answer 1

GDO

流出量＝体積変化を意味しています。
式で表すと以下の様になりますが、納得してもらえるかどうか。。。

1秒間で8[cm³]減少する(マイナス符号省略)
⇒⊿t間では水の量(体積)は⊿V=8⊿t 減少…①
　（⊿V/⊿t=8）

⊿t秒で深さが⊿h減少する場合（水の量は⊿V減少）
⇒⊿V/⊿t＝1/27π{h³－(h－⊿h)³}/⊿t
＝1/27π{3h²⊿h－3h⊿h²+⊿h³}
＝1/27π{3h²⊿h/⊿t－3h(⊿h)²/⊿t+(⊿h)³/⊿t}
瞬間的な変化（⊿t→0）では、(⊿h)²/⊿t、(⊿h)³/⊿tは無視できるので
＝1/9πh²⊿h/⊿t…②

①と②より、1/9πh²⊿h/⊿t=8
①⊿V/⊿t(流出量)＝②⊿V/⊿t(体積変化=流出量)