Question

みみ

問題文の意味がいまいち理解できないです。そもそもKを、得点として終了するのだから得点は必ずKになるのでは無いのですか？教えて頂きたいです。

1からnまでの数字を1つずつ書いたn枚のカードが箱に入っ
ている.この箱から無作為にカードを1枚取り出して数字を記録し,
箱に戻すという操作を繰り返す.ただし,回目の操作で直前のカー
ドと同じ数字か直前のカードよりも小さい数字のカードを取り出し
た場合に,k を得点として終了する.2≦k≦n+1を満たす自然数
kについて,得点がk となる確率を求めよ
東北大の一部
とする. カードの取り出
《解答》 カードの数字を出た順に a1, A2,A3,
し方は全部でnk通りある.このうち
...
* A1 < A2 < A3 < ... < ak
となる場合は,a から ak までの数字の組み合わせはnCk通りで, 並べ方は
小さい順に1通り,それ以外は任意だから,この場合の確率は
nck
nk
よって, 求める α < az <a3 <･･･ < ak-1 ≧ak となる確率は,
a1 < Q2 < Q3 <… < ak-1 / ak (実際は ak-1 以降の大小は任意だから
ai < az < az <･･･ <ak-1 と同じ)となる確率から
･･･ < ak-1 < ak となる確率を引いたものだから
a1a2a3 <...
nCk-1
1=
nk-1
nCk
nk
n!
=
=
=
.k-1
n -1(n-k+1)!(k-1)!
n!.n.k-n!(n-k+1)
nk(n-k+1)!k!
n!(n+1)(k-1)
nk(n-k+1)!k!
(k-1) (n+1)!
nkk!(nk+1)!
=
n!
nk(n-k)!k!
n!(nk-n+k-1)
nk(n-k+1)!k!

確率

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ビリ

例えば4回目で終わったとすると
1回目は2が出て
2回目で5が出て
3回目で7が出たけど
4回目で6を出しちゃった場合は6ではなく4回目なので得点を4として
2+5+7+4=18を得点にするって感じじゃないですかね。
でこの合計とk回目の数字が同じになる自然数についての確率なので、、、
たぶん問題文の意味はこうなんでしょうけど僕は解ける気しません！

Answer 2

GDO

問題文の意味を簡単な例にしてみました(変数の文字も少し変更)
（計算の解説が必要な場合はコメントください）

カード（トランプ）13枚でゲームを行います。引いたカードの数字が、
・前回引いたカードの数字以下である場合はゲーム終了
・前回引いたカードの数字より大きい場合は次も引くことができる（ゲーム続行）
この操作を繰り返すとき、カードを何回引くことができるか。
引いた回数(X)×１000円をゲットできます(X=2,3,…14)。

このとき、1000k円(k=2,3,…14)ゲットできる確率を求めなさい。
すなわち、X=k(k=2,3,…14)となる確率P(X=k)を求めなさい。

考えるにあたっての参考情報 … 特別な情報ではありません。イメージ用です。
・最初にカードを引くときは、前回引いたカードの数字は０として考える
・少なくとも2回はカードを引ける
・引いた数字がn(最大の時：トランプの例では13)を引くと、次に引いたとき必ず終了する
・最大でn+1回(最大の数字+1)引ける可能性がある(小さい方から順に引いた場合)

みみ

最大の数字＋1引ける可能性があるとはどういうことでしょうか....？

GDO

トランプ（１～１３）の例では、
最初に１、次に２、・・・、と引いた場合、１３回まで大きい数を引けます。
次（１４回目）に引いたときは、必ず１３以下を引くことになります。
１４回引けました。

みみ

納得です、ありがとうございます！

GDO

問題文を解読できてよかったです。
計算方法が不明の場合は、コメント入れていください。