Question

しろくま

同時に成り立つとか成り立たないって、どういうことですか？

「40 次の [問題] の [解答]は誤りである。どこが誤りか答えよ。
[問題]x>0 のとき,(x+1)(x+1)
の最小値を求めよ。
[解答]x>0で,相加平均と相乗平均の関係より x+122,x+1/2≧4
4
X
したがって,{(x+1)(x+/12) 22×4=8より。求める最小値はで
p.59
ある。
回 解答

16:49
48%
ここで,等号が成り立つのは, 9a
=-
のと
a
きである。
このとき
9
よって
a =
+1
a > 0 であるから
a
23
したがって,等号が成り立つのは α =
ときである。
23
#
#40
(x+1/2)(x+/4/1)
≧8 において,等号が成り
1
4
立つのは, x+ ≧2, x+ ≧4 の等号が
x
X
同時に成り立つときである。
ここで,
x+
≧2において, 等号が成り立つのは
X
x
1
x
.
すなわち x=1のときである。
4
x+
≧4 において, 等号が成り立つのは
XC
4
x =
すなわち x=2のときである。
X
これらは同時に成り立たないから,
(x+1/2)(x+1)=8の等号は成り立たない。
4
したがって,(x+1/21)(x+1/12) =8 となるx
の値はないから, 最小値が8とはいえない。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

きらうる

今回の問題は、相加相乗平均を使って求めた場合、解答が誤りであることを証明したいんです。
だから、解答は最初に、x+1/x≧2、x+4/x≧4の等号が同時に成り立つ(と仮定する)ときである。と"仮定"しています。
仮定の通り事を運んだら、x＝1とx＝2が同時に成り立つとき、なんて矛盾した答えが出てきてしまうので、「同時に成り立たない」と言えたというわけです。

しろくま

理解力なくてすみません！
矛盾した答えってどこが矛盾しているのですか…？

しろくま

求める最小値は本当は何ですか？

きらうる

＞矛盾した答えってどこが矛盾しているのですか…？

x＝1とx=2を同時に満たすxってありますか？ないですよね？　等号が同時になり立つときと仮定しているのに、同時に成り立つxがないなら矛盾してませんか？

＞求める最小値は本当は何ですか？

この問題は積の状態で相加相乗平均を使っているからダメなわけです。展開して和の状態で相加相乗平均を使います。

与式＝x²＋4＋1＋4/x²
　＝x²+4/x²+5
ここで相加相乗平均を使って
x²+4/x²+5≧2√(x²・4/x²)+5＝9
等号成立はx²＝4/x²　→　x⁴＝4　
→x=√2のとき最小値9

しろくま

分かりました！！ありがとうございます！