3 高次方程式 109
ると余り
(機大改)
余
x)を
解答
think
例題 54
割られる式の決定
****
+ 2x +3 で割ると x +4余り、+2で割ると余るような多項式
P(x) で,次数が最小のものを求めよ。
P(x) を4次式(x+3)(x+2) で割った余りR(x)は3次以下の式である。
P(x)=(x+2x+3)(x+2) (商)+R(x)
x+2x+3で割ると
割り切れる.
x+2x+3で割ると、余りは、
1次以下の多項式
P(x)をx2+2x+3で割った余りと一致する.一
P(x) を4次式 (x2+2x+3)(x2+2) で割ったときの商を
Q(x), 余りをR(x) とすると,
P(x)=(x2+2x+3)(x+2)Q(x)+R(x)
と表せ R(x)は3次以下の式である。
184+1-
また、 ①において,P(x) を x2 + 2x +3で割ると,
(x2+2x+3)(x+2)Q(x)はx2+2x+3で割り切れるから,
P(x) をx'+2x+3で割った余りx+4は,
R(x) をx'+2x+3で割った余りと一致する.
つまり,R(x)=(x2+2x+3)(ax + b)+ x +4
割る式が4次式なの
で、余りは3次以下
おく。
第2章
·②
とおける.
同様に,P(x) を x+2で割った余りが1であるから,CC
R(x)=(x+2)(cx+d)-1 ･･･③ おける.
② ③より
#JJD
(x'+2x+3)(ax+b)+x+4=(x+2) (cx +d-1
が成立し,左辺と右辺をxの降べきの順に整理すると,
ax+(2a+b)x2 + (3a +26+1)x +36 +4
=cx3+dx2+2cx+2d-1
R(x)は3次以下の
式だから 2次式で
割ったときの商は1
次以下の多項式とな
る.
これはxの恒等式であるから,
a=c,2a+b=d, 3a+26+1=2c, 36+4=2d-1
これらを a, b について解くと,
よって、②より,
c, dを消去すると
a=1.6=-1
a+26=-1
R(x)=(x2+2x+3)(x-1)+x+4= x + x2 + 2x + 1
x²+x²+2x+10
①より、
P(x) = (x2+2x+3)(x+2)Q(x)+x + x' + 2x + 1
そして,P(x)の次数が最小になるのは Q(x)=0のとき
である.
よって、 求める多項式は,
P(x)=x'+x'+2x+1
4a-b=5
Q(x)=0 のとき,
P(x) は4次以上の
式となる。
us
