Question

みみ

この問題をtanx=uの置き換えなしで解くことは出来ないのでしょうか？教えて頂きたいです。

EX
③ 130
f(x) が2回微分可能な関数のとき,
d²
dxf (tanx) を f (tanx), f" (tanx) を用いて表せ。
tanx=u とおくと
du
1
d
ゆえに
2dx
de
d
du
d
dx2
du
(1)=f(u)
あるから、 ①
=
dx cos2x
-f(tanx)= -f(u)
ansf(tanx)=xfucos'x
(土)(-
-2 cos x(-sinx)
4
cos x
@du
f'(u)・
dx.
COS2x
1
[富山大 〕
HINT
tanx=uとおく
du
1
と
dx
cos2x
←合成関数の微分
1
・+f'(u)・
dx cos2x
=f"(tanx)・
1
cos2x
•
←合成関数の微分と積の
微分。
+f'(tanx) ・
cos'x
2sinx = 6600
COS'x
1
(tank) + 2sinx
f' (tanx)
1
=
cosx
くびしてから
-f" (tanx) +
cos'x
d
と代入してからびぶらん
注意f (tanx) f (tanx)は異なる。 例えば,f(u)=u2 とすると,f'(u)=2u
dx
から
f'(tanx)=2tanx
よって
dx
+(+xds+
ところが,f(u)=u²のとき
2tanx
COS2 x
df(tanx)=2tanx(tanx)'=
-1)+(6S+xd)x
f(tanx)=tan²x

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

GDO

できるのですが、ごちゃごちゃして分かりにくくなり、間違ってしまいますよ。
uに置き換えての計算と同様ですが、d〇/dx=d〇/d(tanx)・d(tanx)/dxへ置き換えて計算していきます。

df(tanx)/dx=df(tanx)/d(tanx)・d(tanx)/dx=df(tanx)/d(tanx)・1/cos²x=f'(tanx)・1/cos²x

df²(tanx)/dx²
=d(f'(tanx)・1/cos²x)/dx
=df'(tanx)/dx・1/cos²x　　　　　　　　　 +　f'(tanx)・d(1/cos²x)/dx
=df'(tanx)/d(tanx)・d(tanx)/dx・1/cos²x　+　f'(tanx)・d(1/cos²x)/dx
=f''(tanx)・1/cos²x・1/cos²x　　　　　　　+　f'(tanx)・2sinx/cos³x
=f''(tanx)/cos⁴x+f'(tanx)・2sinx/cos³x

Answer 2

和

間違いやすいならおきかえます
そうでもないならおきかえません