Question

みみ

数Aの整数問題なのですが（2）でこのような場合分けをしているのは何故でしょうか...？教えて頂きたいです。

総合を2以上の自然数とする。
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(1) nが素数または4のとき, (n-1)! はnで割り切れないことを示せ。
(2)nが素数でなくかつ4でもないとき,(n-1)! はnで割り切れることを示せ。 [ 東京工大 ]
本冊数学 Ap.523, 例題 116

(1) [1] n が素数であるとき
1, 2, 3, ………... n-1 はすべてと互いに素である。
よって, (n-1)! は素因数に n をもたない。
したがって, (n-1)! はnで割り切れない。
[2] n=4のとき
(4-1)!=3!=6であるから. (n-1)!はnで割り切れない。
[1], [2] から, nが素数または4であるとき, (n-1)! はnで
割り切れない。
(2)n は素数ではないから 2以上n-1以下の2つの自然数α,
bを用いて, n=abと表される。
[1] a≠6のとき
1, 2, 3, ..., n-1の中にaとbが含まれるから, (n-1)!
は ab=n の倍数である。
よって, (n-1)! はnで割り切れる。
[2] a=bのとき
n=α² であり、 n≠4であるから
a≥3
n=a≧3a>2a>αであるから, 1, 2, 3, n-1の中に
αと2a が含まれる。
よって, (n-1)! はα×2a=2a²=2n の倍数であるから,
(n-1)!はnで割り切れる。
← 素数は 1, 2,…,
1のすべてと互いに
素である」 この素数の性
質を利用する。
←6は4で割り切れない。
←素数でない2以上の整
数(合成数)は、複数の
素因数をもつ。
←a<n, b<n
←a=2のとき n=4
←n>2a>a
[1], [2] から, nが素数でなくかつ4でもないとき,(n-1)! はnで割り切れる。
(

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

GDO

なるほど、当たり前のような流れで、分かりにくいですね。

a≠bのとき、
・1,2,・・・,n-1は全て異なる数で、それぞれ１つです（あたりまえ）
・aとbは異なる数でn以下です
⇒aとbは、1～n-1のどれかに対応します。

一方、a=bのときは、同じ数が２回出てくる必要がある（約数にあればいいのだが）。
具体的には、a=bが素数のときなど。
でも大丈夫、1～n-1の中には2aが含まれているので、aが２回でもわり切れます。
という説明になっています。