Question

ももか

数２の問題です！

practiceの置き換えをしてとく問題は
置き換えることでどのように証明しているのかを
分かりやすく教えてほしいです！！

よろしくおねがいします！🙇🏻‍♀️՞

本 例題 29 不等式の証明 (絶対値と不等式)
00000
51
次の不等式を証明せよ。
(1)|a+6|≦|a|+|6|
(2)|a|-|6|≦|a-bl
p.42 基本事項 4. 基本28
1章
CHART & THINKING
似た問題 1 結果を使う
② 方法をまねる
TRAH
(1) 絶対値を含むので、このままでは差をとって考えにくい。 |A=A' を利用すると、絶
対値の処理が容易になる。 よって、 平方の差を作ればよい。
(2) 証明したい不等式の左辺は負の場合もあるから, 平方の差を作る方針は手間がかかり
そうである(別解 参照)。 そこで、不等式を変形すると
|a|≦la-61+10 ← (1) と似た形になることに着目。
①の方針で考えられそうだが, どのように文字をおき換えると (1) を利用できるだろうか?
笑
解答
4
等式・不等式の証明
(1)|a|+|6|2-la+b1=(al+2|a||6|+|6|2)-(a+b)2
よって
=a2+2|ab|+b2-(a2+2ab+62)
=2(abl-ab)≥0...... (*)
la+b=(al+16)2
|a+6|≧0,|a|+|6|≧0 であるから
別解
a+b=al+16
lal≦a≦lal, -660であるから
辺々を加えて -(lal+16)≦a+6≦|a|+|01
|a|+|6|≧0 であるから la+6|≦|a|+|6|
(2)(1) 不等式の文字αを a b におき換えて
| (a-b)+6|≦la-6|+|6|
よって|a|≦la-6|+|6| ゆえに|a|-|6|≦|a-6|
(別解 [1] |a|-|6|<0 すなわち |a|<|6|のとき
(左辺) < 0, (右辺) > 0 であるから不等式は成り立つ。
[2] |a|-|6|≧0 すなわち a≧6 のとき
|a-bp-(|a|-|6|)2=(a-b)2-(a-2|ab|+62)
=2(-ab+labl≧0
よって (|a|-161)2≦|a-62
|a|-|6|≧0,|a-b≧0 であるから
|a|-|6|≦|a-6|
in A≧0 のとき
-|A|≦A=|A|
A<0 のとき
-|A|=A<|A|
であるから, 一般に
-|A|≦A≦|A|
更に、これから
JAI-AO |A|+A≧0
c≧0 のとき
cxclxlsc
x≤-c, c≤x
xc
←②の方針。 |a|-|6|が負
の場合も考えられるの
で, 平方の差を作るには
場合分けが必要。
inf. 等号成立条件
(1) は (*) から, lab=ab,
すなわち, ab≧0 のとき。
よって, (2) は (a-b)6≧0
ゆえに (a-b≧0 かつ 6≧0)
または (a-b≦0 かつ b≦0)
すなわち ab≧0 または
a≦b≦0 のとき。
PRACTICE 29 2
不等式 |a+6|≦|a|+|6| を利用して,次の不等式を証明せよ。
(1)|a-6|≦|a|+|6|
(3)|a+b+cl≦|a|+|6|+|c|
(2)|a-cl≦|a-6|+|6-c|

(3)|a+b+cl≦|a|+|6|+|c|
PR
② 29
不等式 |a+6|≦|a|+|6| を利用して,次の不等式を証明せよ。
(1)|a-6|≦|a|+|6|
(2)
a-cl≦la-6|+|6-c|
[inf. la +6|≦|a|+|6|
の証明は,基本例題 29
(1) を参照。
(1)|a+b≦|a|+|6| のbを-6におき換えて
|a-b|≦|a|+|-6|
ここで |-6|=|6|
よって la-6|≦|a|+|6|
(2)|a+6|≦|a|+|6| の a を a-b, b を b-c におき換えて
bbc
|(a-b)+(b-c)|≧≦la-6|+|6-c|0<b
よって la-cl≦la-b|+|b-c|
(3) la+b|≦|a|+|6| の a を a + b, bをc におき換えて
[(a+b)+cl≦la +6[+|c|••••• ①
また,|a+6|≦|a|+|6| から
①,②から
la+6|+|c|≦|a|+|bi+ic| ...... ②
a+b+cl≦|a|+|0|+|c|
両辺に |c|を加える。
ASB, B≤C
立
ASC
1章
PR

Answer 1

あ

|a+b|≦|a|+|b|が分かっているので、このaとbに自由な値を代入(a=◯、b=◎)して、問題の式に変換しているということです。
(問題の式を|◯+◎|≦|◯|+|◎|の形になるように文字を変換していると考えても良いです。)