Question

みみ

微分の問題です。（3）で私は軸を調べずにD≧0の式を立ててしまったのですが、なぜ軸を調べる必要があるのかわからないです。教えて頂きたいです。

総合 AB=x, AD=y, AE=zである直方体 ABCDEFGH が空間内にある。 直方体の対角線 AG
31
の長さを3, 表面積Sを16とするとき
(1)x+y+zの値を求めよ。
(2) y+zyz をxの式で表し, xを用いて y, z を解とするtの2次方程式を作れ。
(3) xの値のとりうる範囲を求めよ。
[類 長崎大]
(4) この直方体の体積をVとするとき, Vの最大値および最小値を求めよ。 また、そのときの
xの値を求めよ。
(1) AG=3から
x2+y2+22=9
直方体の表面積が16であるから
←関係式を立てる
(x+y+z)2=(x2+y2+22)+2(xy+y+zx)200+ (
2xy+2yz+2zx=16
よって
xy+yz+zx=8
①
ゆえに
=9+2・8=25
x+y+z > 0 であるから
Bago
x+y+z=5
②
(2)②から
y+z=-x+5
よって, ① から
本冊 数学Ⅱ例題 69,230
A
-N---
D
B
G
E
yz=8-x(y+z)=8-x(-x+5)=x-5x+8 ...... ③
③ia
ゆえに,y,zを解とするtの2次方程式の1つは'nfeine
t2+(x-5)t+x²-5x+8=0
(3)x2+y2+z2=9から
so
0<x<3, 0<y<3, 0<z<3
h(t)=t2+(x-5)t+x2-5x+8とし, tの2次方程式h(t) = 0
が 0 <t<3の範囲に実数解をもつ条件を調べる。
←2-(和)+(積)=0
これぞ
調べずにやると...?
Y=h(t) のグラフは直線t=-
x-5
を軸とする下に凸の放物
Y=h(t)
2
線で0<x<3のとき1<-x515から0<x<3
2
2
2
5
2
+
7
0
3
また
h(0)=x2-5x+8=(x-
+ ->0,
2
4
5-%
2
h(3)=x²-2x+2=(x-1)^+1>0
よって, 2次方程式h(t)=0が0<t<3の範囲に解をもつ条件
は, h(t) =0の判別式Dについて
ここで
D≧0
D=(x-5)2-4・1・(x2-5x+8)=-3x2+10x-7
←y=z すなわち
(t)=0が重解の場合も
ある。
=-(x-1)(3x-7)
総合

7-3
D≧0から
(x-1)(3x-7) ≦ 0
ゆえに 1≤x≤
(4)③から
V=xyz=x(x2-5x+8)=x-5x2+8x
f(x)=x3-5x2+8x とすると
f'(x)=3x2-10x+8=(x-2)(3x-4)
4
f'(x)=0 とすると x=2,
3
1≦x≦1/3 における f(x)の増減表は次のようになる。
30
x 1
4|3
7
2
3
総合 f'(x)
+
0
-
20
+
極大
極小
112
f(x) 4
112
4
27
27
4
7
112
したがって,Vは
x=
で最大値
”
3 3
27
x=1, 2で最小値4 をとる。
←0<x<3を満たす。
←xの3次式 微分法
を利用して, 最大値・最
小値を求める。
[

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ヒラリバタフライ男爵

簡単に まとめてみました。

解答を全部を追ったわけではないので、
間違っているかもしれませんが……

h(t) = 0 の全ての解が 0 < t < 3 の
範囲にあるための条件を求めたいわけですよね。

ということは、
・軸が 0 < t < 3 の間にある
・h(0) > 0
・h(3) > 0
・D ≧ 0
の 4 つが言えないといけません。

なぜなら、軸の条件が抜けていると
添付した画像のようなケースが ありうるからです。
この場合、解は 0 < t < 3 の範囲には ありません。

今回の問題では、0 < x < 3 から
軸の条件が自動的に言えるみたいなので、
偶然、答えは合っているのだと思いますが、
条件が抜けているので減点されると思います。