Question

みみ

なぜ多項式が割り切れるとそれを微分したものも割り切れるのかわからないです。教えて頂きたいです。

EX
③ 128
(1)次の条件を満たす 3次関数 f(x) を求めよ。
f'(1)=f(-1)=1, f(1) = 0, f(-1)=2
[国士舘大]
(2) f(x)=ax+1+bx+1(nは自然数)が(x-1)”で割り切れるように、定数a,bの値を定め
よ。
(1) f(x)=ax+bx2+cx+d(0) とすると
f'(x) =3ax2+2bx+c
X3
f'(1)=1から
3a+26+c=1
①
f'(-1) =1から
3a-2b+c=1
f(1) = 0 から
a+b+c+d=0
(3
f(-1) =2から
-a+b-c+d=2･･
(4)
①~④を解いて
a=1, b=0,c=-2, d=1
したがって
”
f(x)=x-2x+1
(2) f(x)=axn+1+6x"+1から
f'(x)=(n+1)ax+nbxn-
f(x) (x-1)2で割り切れるための条件は
<)f(1)=0 かつ (1) = 0
a+b+1=0
......
①
(n+1)a+nb=0 ...... ②
f(1)=0から
f'(1) = 0 から
② ①xn から
a=n
......
①に代入して
b=-n-1
← ①② から 46 0
③ + ④ から
2(b+d)=2 など。
←a=1はa≠0 を満たす
20←xの多項式 f(x) が
(x-α) で割り切れる
⇔f(a)=f'(a)=0

Answer 1

あ

まず、今回微分しているのは割る整式が2乗の式だからです。
(x-a)などの1乗の整式で割り切れる場合であれば、f(x)にx=aを代入してf(a)=0となれば解けます。
(x-1)^2などの2乗の整式で割り切れる場合、f(1)=0でf(x)が(x-1)で割り切れることは分かりますが、(x-1)^2で割り切れるかどうかは分かりません。
そこで微分したf'(x)の式が(x-1)で割り切れることを示すことでf(x)が(x-1)^2で割り切れることを示したということです。

ではf(xが)(x-1)^2で割り切れるとき、微分した式が(x-1)で割り切れることを示します。
Q(x)をxの整式とおく。
f(x)=｛(x-1)^2｝Q(x)となるとき、
f'(x)=2(x-1)Q(x)+｛(x-1)^2｝Q'(x)=(x-1)｛2Q(x)+(x-1)Q'(x)}
よって示せた。