✨ 最佳解答 ✨
(1) α, β, γ 都符合原方程式，即
α³=α+1
β³=β+1
γ³=γ+1
所以 α³+β³+γ³=(α+1)+(β+1)+(γ+1)=α+β+γ+3=3
(2) 將原方程式乘以 x，得 x⁴-x²-x=0，因此
α⁴=α²+α
β⁴=β²+β
γ⁴=γ²+γ
所以 α⁴+β⁴+γ⁴=(α²+β²+γ²)+(α+β+γ)=α²+β²+γ²
但 (α+β+γ)²=α²+β²+γ²+2(αβ+βγ+γα)
→ 0=α²+β²+γ²-2
→ α²+β²+γ²=2
故 α⁴+β⁴+γ⁴=2
(3) 將原方程式乘以 x²，得 x⁵-x³-x²=0，但 x³=x+1
代入得 x⁵-x²-x-1=0，因此
α⁵=α²+α+1
β⁵=β²+β+1
γ⁵=γ²+γ+1
所以 α⁵+β⁵+γ⁵ = (α²+β²+γ²)+(α+β+γ)+3 = 2+0+3=5
(4) 令 t=1/(x-1)，如此一來 t 的3個解之和即為所求
移項得 x=1+1/t ，代回原式
(1+1/t)³-(1+1/t)-1=0
同乘以 t³
(t+1)³-(t³+t²)-t³=0
(t³+3t²+3t+1)-2t³-t²=0
-t³+2t²+3t+1=0
t³-2t²-3t-1=0
所求=2
(5) α+β=-γ, β+γ=-α, γ+α=-β
所求=-αβγ=-1
(6) 原方程式除以 x，得 x²-1-1/x=0，因此
α²=1+1/α
β²=1+1/β
γ²=1+1/γ
所求=(3+1/α)(3+1/β)(3+1/γ)
令 t=3+1/x，如此一來 t 的3個解的乘積即為所求
移項得 x=1/(t-3)
1/(t-3)³ - 1/(t-3) -1=0
同乘以 (t-3)³
1-(t-3)²-(t-3)³=0
1-(t²-6t+9)-(t³-9t²+27t-27)=0
-t³+8t²-21t+19=0
t³-8t²+21t-19=0
所求=19
(到字數上限了)
(7) (α-β)(γ-α)=-α²+(β+γ)α-βγ=-α²+(-α)α-1/α=-2α²-1/α
=-2(1+1/α)-1/α=-2-3/α
同理
(α-β)(β-γ)=-2-3/β
(β-γ)(γ-α)=-2-3/γ
三式相乘
[(α-β)(β-γ)(γ-α)]²=-(2+3/α)(2+3/β)(2+3/γ)
令 t=2+3/x，移項得 x=3/(t-2)代回原方程式
3³/(t-2)³ - 3/(t-2) -1=0
乘以 (t-2)³
27-3(t-2)²-(t-2)³=0
27-3(t²-4t+4)-(t³-6t²+12t-8)=0
-t³+3t²+23=0
t³-3t²-23=0
因此 (2+3/α)(2+3/β)(2+3/γ)=23
所以 [(α-β)(β-γ)(γ-α)]²=-23
故 (α-β)(β-γ)(γ-α)= ±√23 i
(關於為什麼有兩個答案，如果把 (α, β, γ)
換成 (α, γ, β)，這個式子正負就會顛倒)