連続で
[+] (②)
連続
T
分
■数
60 関数の連続性と微分可能性
/関数f(x)=x^2/x-2|はx=2において連続であるか、 微分可能であるかを調べ
p.106 基本事項
62
検討
[例題]
f(x)がx=αで連続limf(x)=f(α) が成り立つ
f(x) が x=αで微分可能微分係数 lima+h)-S(α)
h
オー
lim f(x)
X 2+0
これらの極限について調べる。
f(x)はx=2の前後で式が異なるから、例えば連続性については、右側極限
20, 左側極限x2-0 を考え,それらが一致するかどうかを調べる。
=limx2(x-2)=0
x-240
lim f(x)
x-2-0
=lim{-x2(x-2)}=0
x2-0
また, f(2)=0 であるから
lim f(x)=f(2)
X-2
よって, f(x)はx=2で連続である。
次に
=
lim
h+0
ƒ(2+h)-f(2)
h
lim
h-0
f(2+h)-f(2)
h
=lim
h→+0
h→+0
=lim(2+h)=4
ya
lim
h-0
(2+h)³h-0
h
(2+h)²(−h)-0
h
=lim{-(2+h)"}=-4
h-0
h→+0とん → 0 のときの極限値が異なるから,
f' (2) は存在しない。 すなわち, f(x)はx=2で微分可能
ではない。
微分可能連続の利用
f(x)がx=αで微分可能x=α で連続
y=f(x)
(2) f(x)=
X
0
107
00000 F
p.97 基本事項■
が成り立つ。 よって、上の例題のような問題では,微分可能性から
先に調べてもよい(「微分可能」がわかれば、極限を調べなくても
「連続である」という結論を出すことができる)。
また、⑩の対偶「f(x)がx=4で連続でない⇒xaで微分
「可能でない」 も成り立つ。
x
1+2 +
が存在する。
4A=
を用いて、絶対値をはず
A (A20)
-A (A<0)
◄f(2+h)-(2+h)²|h||
ん→ +0のとき >0
ん→-0のとき <0
に注意して、 絶対値をは
ずす。
練習 次の関数は, x=0 において連続であるか, 微分可能であるかを調べよ。
260
(x=0)
(1) f(x)=|x|sinx
(x=0)
微分可能
[(1) 類 島根大〕
p.115 EX 48
3
章
