Question

Ty

我知道可以將數字一一帶入算出答案
但我想問是否有更快速的方法解呢🙏

10. 設f(x)為三次多項式。出數
(1)已知f(-1)= f(-2)=0,f(1)=6,f(2)=48,求f(x)。
(2)已知f(-1)=f(-2)=f(-3)=5,f(-4)= -7,求 f(x)
f(x) = ax* + bx* + cx + d
解
"y"

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

可知

現在的老師不教牛頓插值法了嗎。

Ty

呃…應該是沒有😅
但我可以問一下假如用牛頓插值法的話怎麼算嗎

可知

可以，我教妳怎麼做
這個太好用了。
（其實我不太懂108課綱為什麼要刪掉一些很好用的數學工具……）

（1）令
f(x)= a(x+1)(x+2)(x–1)
+b(x+1)(x+2)
+c(x+1)
+d
妳可以發現這是一個很聰明的擺法
(x+1)用3次，(x+2)用2次，(x–1)用1次
最後則是常數項d。
接下來，
代入 x=–1，得d=0
代入 x=–2，得–c+d=0，即c=0
代入 x=1，得 6b+2c+d=6，即b=1
代入 x=2，得 12a+12b=48，得a=3

因此得到了牛頓插值多項式
f(x)=3(x+1)(x+2)(x–1)+(x+1)(x+2)
=(x+1)(x+2)(3x–2) ←提公因式整理
=3x³+7x²–4

可知

通常，題目給我們3個點，我們就可以求一個二次多項式。

如果題目給4個點，就可以求三次多項式
可是假設a,b,c,d代入實在太麻煩了
我連三元一次聯立方程式都很懶得解
更不會去解四元一次。

於是以前的高一課本其實就有教牛頓插值多項式，這個非常的好用，學了之後，給4個點的三次多項式一定幾乎都可以很快求出來（註：後面不一定要展開成一般式，寫成因式分解更好）

Ty

喔喔喔好酷
懂了懂了！😊

可知

而且這個取因式沒有特別規定順序，可以隨便取誰3次，誰2次，誰1次

可知

（2）令
f(x)=a(x+1)(x+2)(x+3)
+b(x+1)(x+2)
+c(x+1)
+d
然後代入，接下來妳可以試看看

Ty

好的👌

可知

不過我突然想到這題應該是考因式定理
如果(ax+b)是f(x)的因式，這就表示
f(–b/a)=0。

因此（1）這題我們其實是可以假設
f(x)=(x+1)(x+2)(ax+b)，
因為f(–1)=0, f(–2)=0 表示
這兩個一次因式都是 f(x) 的因式，餘式是0
所以再代入 f(1), f(2) 就可以解a,b。

（2）這題，因為由餘式定理發現
f(x)如果除以(x+1), (x+2), (x+3) 都會餘-5
所以可以假設
f(x)=a(x+1)(x+2)(x+3)–5
再代入 f(–4)=–7 求a

這應該是這兩題想考的
☆餘式定理
☆因式定理

Ty

Ok ！
謝謝您那麼用心解答❤️

可知

不客氣，不會的都可以再問我~

Answer 2

yo

三次函數用高三的微分會快很多，但是這種基礎題就乖乖代入解聯立就好了

Ty

好的謝謝😊