Question

tkhsre

この関数のグラフの概形を求める時の極限の計算結果が解答のようになるのがどうしてか分かりません。
自分は関数のxに代入して計算してますが、それではダメなのでしょうか？教えてください。

5 関数f(x)=
=
x2+4x-1
(x+1)2
について,
(1) f'(x) f'(x) を求めよ.
(2) 関数f(x) の増減および関数y=f(x) のグラ
フの凹凸を調べ, グラフをかけ. また,漸近線の方
程式をすべて示せ.
( 15 中京大工)

5.分数関数について,分母が0になるとき,そこから
り軸に平行な漸近線が現れます (本問の場合z=-1).
また,分数式は,分子を分母より低次の形にするのが定
石で,これからx→±∞ のときの漸近線が分かります。
分数式=多項式+(分子が分母より低次の分数式)･･･※
の形に変形すると,x→±∞のとき,
→ 0 なので,
多項式の部分が1次以下なら,それが漸近線です.
また、の形の方が微分がしやすいので,本問では,
まずの形に変形しておきます.
(解 (1) x2+4x-1 を (x+1)=x2+2x+1で割る
と、商は1で余りは2x-2であるから,
f(x)=-
x2+4x-1
(x+1)2
=1+2.
∴. f'(x)=2.
x-1
(x+1)2
→±∞
(x+1)-2(x-1) -x+3
(x+1)3
(x+1)³
:· ƒ"(x)=2.(-1).•(x+1)³−(−x+3)·3(x+1)²
(x+1)6
=2··
1∙(x+1)²−(x−1)·2(x+1)
(x+1)4
GAMB
=2.¯(x+1)−3(−x+3) -=4·
(x+1)4
(2) (1) により,
X
y=f(x) の増減・
f'(x)
凹凸は右表のよう. f'(x)
また, ① により,
limƒ(x)==∞,
lim_{f(x)-1}
(x+1)2+2x-2
(x+1)2
2(x-1)
lim
→∞ (x+1) 2
であるから、漸近線は
x=-1,y=1
-=0
であり, y=f(x) の
グラフの概形は右図の
ようになる.
...
f(x)\x
-=2・
×
I-1...
3
x+ 0 -
ty
0
5
4
-1
x-5
(x+1)4
5
3
...
-
2
0 +
(5, 1)
-5
x