Question

みみ

積分の面積を求める問題なんですけど、なぜx＝yに対称であるとわかったのでしょうか。

EX
関数f(x)=ae²x (aは定数)について, 曲線 y=f(x)上の点(b, f (b)) における接線がy=xで
③ 215 あるとき,次の各問いに答えよ。
1 aとbの値を求めよ。
② y=f(x) の逆関数 y=f'(x) と表す。 このとき, 曲線 y=f(x), y=f'(x), x軸およびy
軸によって囲まれる部分の面積を求めよ。
〔宮崎大〕
HINT (2)(1) の結果を利用。 また、2曲線y=f(x), y=f'(x) は,直線y=x上の点(b, f(b))
おいて接し, 直線y=xに関して対称である。
(1) f'(x)=2ae2x であるから, 曲線 y=f(x) 上の点(b, f(b))
y-ae²6=2ae2b (x-b)
における接線の方程式は
すなわち
y=2ae²6x+α(1-26)e26
これがy=x と一致するための条件は
2ae26=1
①を②に代入して
......
1, a(1-2b)e2b =0
1-26=0
=1/12/①に代入して
2ae=1
ゆえに
よって
b=
[1=x
2
OVER
a=
ty-f(b)=f'(b)(x-b)
(N(S)
←傾きとy切片が一致。
←(1-26)=0)
1 -1} |- ( ² f1 ) ¢ = (x)\\
2e

58 数学ⅡI
(2) (1) の結果から, α=
また、曲線y=f(x)は点 ( 1212.2121)で
9
3+1
直線y=x に接する。
曲線 y=f(x) と曲線y=f'(x) は直線
y=xに関して対称であるから、この2
曲線は点 (12/12/2)で接する。
9
2017/1 2x
2e
よって, 図のように, 面積を求める部
分の図形は直線 y=x に関して対称である。
したがって 求める面積をSとすると
=
1
2
のとき f(x)=1/12/02
1
4
S = 2
2² S ² ( ²½ - ²x - 1 - x) dx = [ ²12² e ²x-₁-
2x-1
-x²
-
1/2 e ²¹ = 11
4
1
26
y=x
1-1/7²e-²
2
2x-1
YA y=f(x)/
2
O
|1|2
y=f-¹(x)
e-1
(メル
S
x
2
IMPU
61
参考y=
1=1/1²x
関数を求めると,
e2x-1=2y から
2x-1=log2y
and d
ゆえにx=
2x-1
log2y+1
2
xとyを入れ替えて
log2x+1
2
y=
←/1/
1
2e
の逆
でもよい。

Answer 1

かきつばた

逆関数ってy=xで対称だから