Question

おうじゃP

(2)で写真二枚目の5行目の式

Ry1'＝(Mcosθ/2w)×｛g(w+h tanθ )－(vcθ^2(h－wtanθ))}＝0
があると思うのですが、その直前で「P1を中心として反時計回りに転覆しないためには、重心がP1より右側になければならない。よって、w－h tanθ＞0(重心と回転中心との距離)、すなわち、Ry2'＞0(Ry2'は垂直抗力)」
と書いてあります。
二つの垂直抗力Ry1'とRy2'が転覆直前にどちらも0になるのでRy1'＝0として問題が解けるのは理解できるのですが、せっかく条件でRy2'＞0としたのに、Ry2'＝0として解かないのに気持ち悪さがあるのですが何か理由があるのでしょうか？

Chapter 1
力学
Section 1
力と運動
例題 10
等速円運動 ②
図1はレールに乗っている列車を正面から見た
図である。 レールの幅は2w であり, 列車の質量は
Mである。 列車の重心Gは、レール間の中心線上
で、レールと車輪の接触点から高さんの位置にあ
る。 空気の抵抗や摩擦力などは無視できるものと
して、以下の問いに答えなさい。
(1) この列車が,たいらな地面に水平に敷かれた
円形の曲線路を、一定の速さで通過している。
(A) 重力加速度をg, 列車に作用する慣性力を
Fとして, 曲線路の内側のレールから列車
が受ける垂直抗力 R1 と, 外側のレールか
ら列車が受ける垂直抗力 R-2 を、 それぞれ M,
w, g, F, h を使って表しなさい。
図2
(B) 曲線路の半径を , 列車の速さを”として,
慣性力F を M, r, o を使って表しなさい。 ただし,rはレール
幅 2w に較べて十分に大きいものとする。
(C) 列車の速さが大きくなると, R, が減少し,やがて列車は転覆する。
この場合の限界の速さve を wr, g, hを使って表しなさい。
(2) 曲線路では, 列車の安定を増すために、 通常, 曲線路の外側のレー
ルを少し高くしている。 図2に示すように, 線路が角度日の傾きを
つけて敷かれているとして, 列車が転覆する限界の速さve を w, r,
g,h, θ を使って表しなさい。
(三重大)
w wo
200
考え方の
キホン
to 10
I
(1) (A)右図のように、車輪とレールとの接点をそれぞれ
P1, P2 とし, 車輪がレールから受ける抗力の水平成
分をそれぞれぃたとする。 鉛直方向の力のつりあ
いより
I
1
円運動の問題では,中心方向外向きの慣性力すなわち遠心力を考慮
すると, 有効な場合が多い。 例えば、人工衛星の中で宇宙飛行士が
ふわふわ浮いて見えるのは, 人工衛星から見て, 宇宙飛行士に働く地球の万有引
力と遠心力がつりあうからである。 この問題でも、列車から見た遠心力を考慮す
ると, 剛体のつりあいの問題として扱うことができる。
なお、遠心力をむやみに軽んじてはいけない。 現代の物理学では,遠心力 (
般には、慣性力)といわゆる実在の力 (この場合は, 向心力)とは、同等である
I
とみなす。
(2)までは、外側のレールは高くしてない。
1
R1+R2-Mg=0… ①
P2 のまわりの力のモーメントのつりあいより
Mgxw-R1 ×2w-Fxh=0
②
〔注〕 P1 のまわり:
R12×2ω-Mgxw-Fxh= 0 ③
①② (あるいは, ①, ③ あるいは, ②③ より
-Mg-
R₁₁ =
h
R2= g+.
〔注〕この場合の向心力はf+fである。 水平方向の
力のつりあいより、
S
2w
(B) 円運動の加速度は2/rだからF=Mv²/r
(C) (A)からわかるように, R2は常に正である。 (B)も用いて
h Mv²
:. R₁₁=Mg-20 =0 :: Vc=
F
fi+f₂=F=Mv² /r
(2) 右図のように車輪がレールから受ける抗力の斜面に垂
直な成分をそれぞれRai', R2' とし、斜面に平行な成分を
それぞれだとする。 斜面に垂直な方向の力のつりあ
いより
P回りの
モーメント
Mo
-F
R入
Mcose {g(w+htand)-
2w
fr
Vo²
r
rwg
h
R₂₁
Ra
Mg
Ri'+R,a'′-Mgcos0-(Mus/r)sin6=0・・・・・・・・ ④
PT
P3
Or
MY
K
P2 のまわりの力のモーメントのつりあいより下
Mgx(w+htane)cos-Ra'x2w_(Mu²/r)x(h-wtand) cos0=0
BA
w
....... 5
Mg x (cose+ htang.cosa)
Pr
カ
〔注〕 Pi: Ri' ×20-Mgx(whtand)cos0 (Mur) x(h+wtand)cosB = 0.⑥
④,⑤ (あるいは、④⑥ あるいは, ⑤⑥ より
列車
の動き
Mer x (hcoso-tutanocuse)
(h-wtan6
tan 0)}
B
10
1-1 力と運動
47

Chapter 1
力学
Section 1
力と運動
1
I
MEMO
2{g(w-htan0)+
・P, より右側になければならない。 よって, w-htan> 0, すなわち、
ここで, P, を中心として反時計まわりに転覆しないためには, 重心が
たら / 重心とPとの距斎橋
R2'>0である。Pを中心に回転したら
→別列車はPから離れて
RM cose
htano.coso
48
Ru2′=
広大
倒れる。
倒れる 別解力のモーメントを求めるとき, 力の大きさにP,あるいはP1から垂
1
htang-cuse 0%
M coso
2w
Ohtand
h
直距離を直接かけて計算したが、力のほうを斜面方向と斜面に垂直な方向
の成分に分けてから, P2 あるいはP, からの垂直距離をかけてもよい｡ ⑤
⑥式は,次のように求められる。
P2 : (Mgcos0)×w+(Mgsin0) xh+(
=(Mn" cost) xh+R.'x2w
Mv²
r
P1: R2'′ x2w+(Mgsin0)×ん
= (Mg cos 0) xw+
Øst
..
htano
2w0 (w+htan) e (h-wtan e)} = 0
1g
(wtano)}=0
垂直抗力は
はたらがない(上のご関係ない)
Vce =
rg (w+htan0 )
h-wtan 0
(> vc)
2
Ve (h+wtant
r
zutan
rucusy.
tano) }
※三角比は
90°を含むときしか
使えない。
Mui_sino) ×10
r
Mei sine) x10+ ( Mn cos0) xh
Mv²
²
r
r
G L-Je
osel
zutand
w=hcose
②2=wutang.coso
P2
watano
・coso
例題 11
単振動 ①
質量mの2つの
質点AとBがばね
定数kの3個の
る巻きばね S, S2,
S3 に図のように結
ばね S の左端Pと
いの状態ではどの
べてPとQを結ぶ
に働く力はいつもこ
運動も変位も直線
抗は無視できるもの
(1) 質点Bに力を
①質点Aは右方
② このとき質点
(2) 質点Bを最初
えて大きさの
は単振動をした｡
① このときの単
●質点Aがはじ
(3) 質点AとBの
変位を与えてから
た。このとき質
(4) 質点AとBの
の変位を静かに与
去ったとき、 両口
の場合の周期の
図に示した右
① このとき, 質
② 次に、この状
振動させた。 こ
の何倍か｡

.
Mcoso (grar-htano) + in (h+ w take)} =0
R³₂ = 21
明らかにCUSO辛口なので
w (hta tand) = g(er-htane)
-rg (en_htand)
htzutano
:36=
rg (htang-)
h+w+ang

力学 等速円運動

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

Take

vが大きくなるとR1は小さくなって
R2は大きくなるので
R2は0にならないと思います。

R2>0なのは反時計回りに回転しない条件
R1 <0なのは時計回りに回転する条件
みたいな感じですかね？

おうじゃP

式を見る限り、R1のvを含む項が負でR2のvを含む項が正なのでおっしゃる通りだなと思うのですが、物理が転倒する時って垂直抗力とか張力が０になった気がするのですが、条件付きなのでしょうか？

Take

R1かR2の片方が0になっていれば
もう片方を回転中心として転倒(回転？)
しそうな気がします

おうじゃP

とっても参考になりました。ありがとうございます。