次の関数の増減 極値,漸近線を調べて, その
(1) f(x)=x
(2) f(x)=x2
x2-1
x2-1
解答
まず,定義域を考える. 分数関数の場合, (分母) ≠0 に着目する.
次に,軸との共有点,漸近線, 増減表などを調べればよいが, その際,
(分子の次数) < (分母の次数) になるように式変形する.
たとえば, (2)はf(x)=
x²
= 1+
x2-1
20
x³
xC
3x (3) f(x) = ² ² ² 1 = x + x ² = ₁
=x+-
x2-1
x2-1
(漸近線は,部分に着目する。 1次以下の整式の場合, 漸近線を表す.)
(分母) ≠ 0
f(x)=x-1
x2-1
f'(x)=(x-1)x2x
(1) x2-10 つまり,x≠±1より定義域は x≠±1
であるすべての実数
xC
f'(x)
f(x) \
また,
よって,
T
=
-(x2+1)
(x-1)2
(x2-1)2
したがって, f(x) の増減表は, 次のようになる.
IYA
-1
1
lim
x→±∞
--
f(x)
x
XC
(x+1)(x-1)
極値なし
1
2
x²-1
-
=
=0
lim {f(x)-0.x}=0
x→±∞
(3) f(x)=
となる.
2²=41++oMotal? +₂7
O
漸近線は直線x=±1, y=0
(268
x3
x2-1
81
x
漸近線(y軸に平行な
もの) を求めるときに
(分母)=0 となる値を
考える.
lim f(x)=8,
x1+0
lim f(x)=∞ より
x-1+0
x=±1 は漸近線
x→±∞ のとき,
f(x)=0+12_1 = 0
と考えると, y=0 も
漸近線
