Question

Aoi

数学的帰納法の問題です。

回答の[1]で、n=1 だけではなく
n=2 も求めているのは何故ですか？

よろしくお願いします🙇‍♀️

92
応用問題
98 数列{an}をa=1, a2=1, 0,+2=an+1+am とする。このとき, すべての自然数nに対して,
7\n
< (14) " が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ。

< (7) を(A)とする。
4
[1] n=1,2のとき
an
a₁=1</7, a₂=1<\
4'
よって, n=1,2のとき, (A) が成り立つ。
[2] n=k, k+1のとき (A) が成り立つ, すなわ
<(7) ²
4
k
7\k+1
a. < (7)*. a. < (7)**
k
ak+1
9
4
ち
が成り立つと仮定する。
n=k+2 のときを考えると
ak+2=ak+1+ak<
(1+
7
4
=(17)(174+1)=(7/11/17
11 (7)
7\k+1
A) +
44
49
11-16 (27)=10より
4
4
16
よって
7\2
a... < (7) * · + < ( 7 )* (²) * = (?) ***
ak+2<
7\k+2
4
したがって,n=k+2のときも(A) が成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて (A) が
成り立つ。

数学的帰納法

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ひま

a_n,a_n+1,a_n+2の3項間の漸化式が与えられてるんだからk,k+1の成立を仮定してk+2の時を導きにいくのは自然な発想
当然この仮定だとn=1,2は自力で確かめないといけない
n=1,2で(A)が成り立って、なおかつn=k,k+1で成り立つならn=k+2でも成り立つって言えることで初めて(1,2)→3,(2,3)→4,(3,4)→5,……って感じに全てのnで成り立つといえる

Aoi

ありがとうございます！
とても分かりやすくて助かりました。