Question

Mio

103(5)です。解答の下から三行目から二行目f(x)の変形はどうしてx^2-x+1 とわかるのですか？
0〜1ならx^3-3x+a+2も考えられるのではと思ってしまいました。

103 αを実数とする。 関数f(x) を次のように定める。
f(x)=1-x+x2+α[x] -2x[x]+[x]2
ただし,実数xに対し, 記号 [x] は n≦x<n+1 を満たす整数n を表す。 たと
5
えば [0]=0, [2]=1, [2]=
=2 である。
(1) 0≦x<1の範囲において, f(x) をxの整式で表せ。
(2) 1≦x<2の範囲において, f(x) を a を用いたxの整式で表せ。
(3) f(x)がx=1で連続であるように,αの値を定めよ。
HRA
(4) f(x+1)f(x) をaを用いて表せ。 ただし, [x+1]=[x] +1 であることは
証明せずに用いてよい。f(^ーリーf(x)=a-1
αを (3) で定めた値とする。 nを正の整数とするとき, Sof(x)dx を n を用い
て表せ。
[17 立教大]

y1
a²
4,
1+-
O
Not
a 1
2
最大値が
-a
(3) [1] 0<a<2のとき
5
0 最大値が となる条件は 1+-
すなわち α=1
これと (1) の結果により
[2] 2≦a のとき
5
a² y
1+-
となる条件は+α
01a
2
-a0
a² 5
0<a<2であるから a=1
a=1,b=1,c=1
18 in
5
これは2≦aを満たさないから不適。)
以上から
a=1,b=1,c=1
(1)(2) から
A601
102f(x)-x=g(x) とおくと, g(x)=ax2"+b-x で
あり,g(x) は連続である。
また
g (1)=a+b-1, g(-1)=a+6+1 S
|a +6|≦|a|+|6|≦1 から -1 Sa+b≧1
よって g (1) ≧0, g(-1)≧0.
したがって
g(-1) = 0 または g (1) = 0 またはg(-1)g(1) <0
g(-1)=0 の場合は, x=-1 が方程式 g(x)=0の解
となる。
g (1) = 0 の場合は, x=1が解となる。
g(-1)g(1) <0 の場合は, 中間値の定理により, 方
程式 g(x)=0 すなわちf(x)=xは-1<x<1の範囲
に少なくとも1つの実数解をもつ。
以上から, f(x)=xの解で, -1≦x≦1の範囲にあ
るものが存在する。
(②) 1≦x<2のとき, [x] = 1 であるから
f(x)=1-x+x2+α-2x+1
-56) + 05=²08 +₁DS=&
103 (1) 0≦x<1のとき, [x]=0であるから
f(x)=x²-x+10+²¸»)+0«S<
=x2-3x+a+2
(3) f(x)がx=1で連続であるための条件は
lim f(x) = lim f(x)=f(1)
x→1−0.
x→1+0.
[S]
lim f(x)=lim (x2-x+1)=1
x-1-0
1-0
lim f(x) = lim (x2-3x+a+2)=a
x-1+0
x→1+0
f(1)=12-3.1+a+2=a
よって
a=1
(4) f(x+1)=-(x+1)+(x + 1)2 + α[x+1]
-2(x+1)x+1]+[x+1]2
=1-(x+1)+(x+ 1)² + α([x] + 1 )
オリスタⅢI受 解答編
=1-x+x2+ a[x] -2x[x]+[x]+α-10
=f(x)+α-10 )
よって
f(x+1)f(x)=a-1
(5)a=1のとき, (4) より、任意の実数xに対して
-2(x+1)([x] +1)+([x] + 1)2
f(x+1)=f(x)
よって, f(x) は周期1の周期関数であるから, 任意
の整数に対して「f(x)dx=Sof(x)dx (日)
したがって,nが正の整数であることに注意すると
Sof(x)dx=2^f(x)dx=2Sf(x)dx
k-1
=n (x2-x+1)dx
= nS ₁ (x ² = ²
Jo
n=1
=n
104 (1) {(cos x)"-¹-
x²
3 2
5夏
=n
6
-¹ - (cos x)"+ *-1¹}
=${1_(cosx)\(cosx)=1 |
これは,初項1- (cosx), 公比 cosx の無限等比級
数であるから, 収束する条件は
1- (cosx)=0 または −1 <cosx<1
んは自然数であるから
1–(cosx)*=0
よって
x→0
-ħ f(0) = 0
8
<> COSt=1 または COSx=-1
CS)
[1] -1<cosx<1となるxに対して, 級数は自然
214/2
数kの値に関係なく収束する。
59
[2] cosx=1となるxに対して,初項が0であるか
ら級数は自然数kの値に関係なく0に収束する。
[3] cosx=-1 となるxに対して,
kが奇数ならば,初項は2,公比は-1
1
まんが偶数ならば,初項は 0, 公比は1
よって, 級数はんが奇数のとき収束しない。
kが偶数のとき収束する。
以上により, 級数がすべての実数xについて収束す
るのは、kが偶数のときである。
(2) x=0での連続性を考えるのでπ<x<πで考え
る。
x≠0 すなわち COSx=1のとき, −1 <cosx<1で
あるから
f(x)=(1-cos* x) cos"-¹x=-
n=1
=1+cosx+cos2 x + ......
+ cosk-1x
limf(x) = 1+1+. +1=k
1-cos*x (02
1–cost d
(A)
ゆえに lim f(x) (0)
x0
よって, x=0 においてf(x) は連続でない。
TOD/
Bord (>1>e

オリスタ オリジナルスタンダード 103 (5) 数学 数iii 積分 極限 関数の連続性

Answer 1

かきつばた

パッと見ただけだけど
0≦x≦1の時にx²-x+1なんだよね？ a=1って指定されてるから

積分範囲は0≦x≦1だから関数はx²-x+1だよ