解答

-1≦x≦3とa≦x≦a+2を同時に満たすxが存在するためには、範囲が少しでもかぶればいいのです。
-1≦x≦3は固定の範囲(黄)なので、左端のx=-1(橙)とa≦x≦a+2の右端であるx=a+2(青)がかすっていればいいわけで、-1≦a+2であれば黄色と水色の範囲がかぶっている状態になります。
右端のx=3も同様で、a≦x≦a+2の左端であるx=a(紫)がかすっていればいいわけで、a≦3であれば黄色と桃色の範囲がかぶっている状態になるのです。

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