例題 275 漸化式 an+1= pan+g"
a=6, an+1=2an+3" (n=1, 2, 3,･･･) で定められた数列の一般項を
求めよ｡
g
Action 漸化式 an+1= pan+g" は,両辺をq+1で割ってb=
解法の手順・
解答
漸化式 an+1=2an+3" の両辺を3"+1で割ると
an+1
2
an
より
32+1
3 3"
ここで, bm
これは,α=
2an
3"
+
3n+1 32+1
列であるから
bn+1 − 1 =
ゆえに
したがって
1 漸化式の両辺を 3" +1 で割る。
2|bn= とおき, bmとb+1 の関係式をつくる。
an
3"
32の漸化式から 6" を求め, さらに an を求める。
an
3"
2
an
bn
2"
できる。
a+
練習 275α=1
とおくと
2
3
3
-(bn − 1)
(b)
bn−1=1.
bn
an+1
3n+1
bn+1
=
と変形できる。
ai
よって, 数列{bm-1} は初項b1-1 = 1,公比 の等比数
bet=
B'
an
より
2
3
を満たす α = 1 を用いて
an
n-1
2
n-1
+1
とおくと, bn+1=6n+
..
-bn
an=3".bn=3・2"-1+3"
+
bn-1=
an+1=2a+3" の両辺を2"+1で割ると
3
12 (12)
+
1
3
2
bn=
an
n
1
3
Pointly an+1 = pan+g" の両辺を p" +1 で割る
方法
3^
an+1
2n+1
au = 3".
(-)^-+
2m
= 2
an
2n
+1
2an
3n+1
3n
32+1
hei
→274
特性方程式 α = bato
の解を利用する。
→ 61-1= 6²
3
+1
13".
an
a
4b₁ = 2 = 2
3
2an
3·3n
n
3
+ 1/2 · (²) *
3"
3.3″
by = 2
20/12/1
22-1
3n-1 =3.2n-1
2-1
3
24-1
n
2-1 × F
となるから, 階差数列を用いて解くことも
24-1x3
73,2"-1
7
V90
分配法則なんですね！