✨ 最佳解答 ✨
明顯的，是要用到正切萬能公式。
有一組畢氏三元數是 2u, 1–u², 1+u² ←斜邊
設有一銳角是 x。
令 cosx=(1–u²)/(1+u²)，則sinx=(2u)/(1+u²)
事實上，u就是等於 tan(x/2)，這裡先用u代替。
兩邊微分得
–sinxdx = (–4u)/(1+u²)² du ←除法微分公式
dx= 2/(1+u²)du ←sinx換成u的表達式並移項整理
於是原積分變成
1
∫ ------------ du ←cosx跟dx換掉，並約分整理得到。
2u²+3
把右下角的+3變成+1，這與反正切的微分有關。
1
=(1/3) ∫ -----------------------du ← 可以令 v=(√6)/3 u
((√6)/3 u)² + 1
= (1/√6) arctan((√6)/3 u) + C
由正切萬能公式可知 u=tan(x/2)，故積分結果為
(√6/6) arctan ((√6)/3 tan(x/2)) + C.
可以的話請送我最佳解答
另外再幫你解其他你不會的題目xD
好的~~🤣🙏
正切萬能公式的推導，可以參考維基百科，裡面有寫公式怎麼來的，其實就是三角函數的二倍角公式。
有了正切萬能公式，這種 1/(k+sinx)
或是 1/(k+cosx) 的積分，都可以用這種方法來轉換成有理函數的積分。
好的~晚點來算一次！謝謝你！~