Question

せな

この問題で、D＞0だけの条件で解けると思ったのですが、なぜyの範囲を考えなければならないのか教えて頂きたいです。

交点を持つ時点でyはこの範囲でしか有り得ないと思って解いていました。
分からない点が伝わりにくかったら申し訳ないです💦宜しくお願いいたします。

ER
111
楕円と放物線が4点を共有する条件
重要 例題 62
00000 % X
楕円x2+2y²=1と放物線y=2x² +α が異なる4点を共有するための,定数aの
12/16×
値の範囲を求めよ。
数学 基本 125
指針 2次曲線どうしの共有点の座標も, その2つの方程式を連立させ
て解いたときの実数解であることに, 変わりはない。
楕円x2+2y2 = 1, 放物線y=2x2 + α はどちらもy軸に関して対
称である。よって、2つの曲線の方程式からxを消去して得られ
るyの2次方程式の実数解で-
√2 √√2
2
2
<y<
の範囲にある1
つのyの値に対して、xの値が2つ、すなわち2つの共有点が
対応 することに注目。 .........
x2+2y2=1, 4y=2x2+αからxを消去して整理すると
4y2+4y-(a+2)=0 ...... ①
√2
<y<√2
x=1-2y2≧0から
与えられた楕円と放物線はy軸に関して対称であるから、2つ
図の曲線が異なる4つの共有点をもつための条件は、 ① が
_√2 <<-
で異なる2つの実数解をもつことである。
2
√√2
2
·Sys.
2
よって, ① の判別式をDとし, f(y)=4y²+4y-(a+2) とする
と,次の [1]~[4] が同時に成り立つ。
[1] D>0 [2] √(√2) >0 [3] √(√2) >0
[4] 放物線Y=f(y) の軸について
<-1² << ¹ 2
√2
√2
2
******
[1] 12/1=2°-4・{-(a+2)}=4(a+3)
D> 0 から a+3>0
よって
[2] 20から2√20
ゆえに
a<-2√2
[3]>0からa+2√2 > 0
a> -3 ...... ②
a<2√2
[4] y=-/1/2 は-<-1/くを満たす。
√2
√2
2 2
②~④ の共通範囲を求めて
-3<a<-2√2
y
-10
a
<x²=1-2y2 を
4y=2x²+αに代入する。
+
左の解答では、
数Y=f(y) のグラフが
2次関
<y<2でy軸と
√2
異なる2つの共有点をもつ
条件と読み換えて解いてい
る (このような考え方は数
学Ⅰで学んだ)。
2y
(検討)
① を4y²+4y-2=α と変形
し、 放物線Y=4y²+4y-2
と直線Y=α が異なる2つ
の共有点をもつαの値の範
囲を求めてもよい。
2章
7
2次曲線と直線