Question

りゅう

なぜ△ABCが重心と言えるのですか？
三本の中線が1点で交わる点が重心ですが、点BからACに垂線を引いているかは分かりません、

どうして重心と言い切れるのか教えて欲しいです。

334
基本例題65 三角形の重心と面積比
右の図の△ABC において, 点 M, N をそれぞれ辺BC,
ABの中点とする。 このとき, △GNMと△ABCの面
積比を求めよ。
CHARTO SOLUTION
解答
点Gは△ABCの重心であるから AG: GM=2:1
AGNM= AANM
11/3△△
・①
よって
また, 点Nは辺ABの中点であるから
△ANM=- △ABM ・②
更に, 点Mは辺BCの中点であるから
△ABM= - △ABC
①,②, ③ から
よって
14
......
AGNM=-
1=1/3△ANM=1/31/1△ABM=
AABM=¹22
111
32
△GNM: △ABC=1:12
B
FELRAG!!
INFORMATION 三角形の面積比
A200000
A
N
三角形の重心 2:1の比辺の中点の活用 ・･････
3本の中線は,重心によって 2:1に内分される。
2つの三角形の面積比については, 以下を利用する。
高さが等しい→ 底辺の長さの比 底辺の長さが等しい高さの比
G
M
p.326 基本事項 3
-AABC=
基本66
・三角形の2本の中線は、
重心で交わる。
C
△ANMと△ABM の
比は AN: AB=1:2
△ABMと△ABC
は BM: BC=1:2
1 -AABC
12
この比

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

🍇こつぶ🐡

解答にかいてありますが、
2辺の中点から対角に線を引いた交点は重心だから🙇

りゅう

2辺の中点から対角に線を引いた交点は重心

これを満たしていれば絶対に重心と覚えていていいんですか？
2辺が中点におりていたら必然的に三本目も同じようになる という考えなんでしょうか？

🍇こつぶ🐡

そうです。
③本目もGで交点になります🙇

りゅう

わかりました！ありがとうございました

🍇こつぶ🐡

いえいえ。
ちなみに、
点BからACに垂線を引いて1点に交点がなる場合は、重心ではなく垂心です🙇

りゅう

ありがとうございます！！

🍇こつぶ🐡

いえいえ🙇

Answer 2

MathLove

BからACに垂線を引くという記述はどこにあるんでしょうか？

りゅう

垂線⇒中線の間違いです！！

三本の中線が合わさっている（交点）が重心であるのに2本だけでもそれは満たされるのか ということが知りたいです！

MathLove

2つの中線の交点が重心であることは自明だと思います！2つの時点でそこのただ1点でしか交わっていないのだから3本目は必然的にそこを通ることになりますよね！要はA＝BかつB＝CならばA＝B＝Cのように2つの関係しか分かっていなくてもそうなることが自明なのです！

りゅう

なるほど(´・ω・｀)
ありがとうございました🙏