Question

ララ

数学についての質問です。
k^n （kとnは自然数）が素数pの倍数であるとき、kは素数pの倍数になりますか？ また、なる場合なぜそうなるのか教えて頂きたいです。

数学 素数 倍数 自然数 高校生

Answer 1

𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑒

条件から、自然数mを用いて
kⁿ＝pmとおく.
ここで、kは素数pの倍数でないとする.kをpで割った余りをr(1≦r≦p-1)とすると、自然数qを用いて
k=pq+rと表せる.よって
pm＝kⁿ
＝(pq+r)ⁿ
≡rⁿ (mod p)
これはpmをpで割った余りがrⁿになることを示しているので、
rⁿ=0
したがって、r=0
これは、1≦r≦p-1であることと矛盾.
以上から、
kⁿは素数pの倍数⇒kは素数pの倍数
※対偶を利用してもいいでしょう.