Question

かすみ

3辺の長さがa.b.cの直角三角形の外接円の半径が5/2内接円の半径が1/2のとき、b.cの値はそれぞれ何になるか。ただし、a≧b≧cとする。

お願いします！！🙏

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

夏音さん

【解答】
a≧b≧cかつ直角三角形であることから
斜辺がaでありa²＝b²+c²‥①が成り立つことが分かる。
内接円を利用した面積の公式S＝(1/2)r(a+b+c)より
(1/2)bc＝(1/2)(1/2)(a+b+c)‥②
外接円を引くと直角三角形の斜辺aは外接円の直径となることからa＝2×(5/2)＝5
aの値を①②に代入すると
b²+c²＝25‥③
2bc＝5+b+c‥④
この２式を連立して
b²+2bc+c²＝25+5+b+c
(b+c)²＝(b+c)+30
K²−K−30＝0(K＝b+c)
(K−6)(K+5)＝0⇄b+c＝6,−5
これを④に代入し解くとbc＝11/2,0
(b+c,bc)＝(6,11/2）(-5,0)
ここでY²−(b+c)Y+bc＝0を利用する
【(6,11/2)の場合】
Y²−6Y+11/2＝0
Y＝3±√7/√2
b≧cより(b,c)＝(3+√7/√2, 3−√7/√2)
【(-5,0)の場合】
Y²+5Y＝0となりYの値が0以下となるので不適

よって　
(b,c)＝(3+√7/√2, 3−√7/√2)
作問かな？いい問題でした✨

夏音さん

√7/√2は有理化しないほうが綺麗なのでそのままにしました！