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高中

3辺の長さがa.b.cの直角三角形の外接円の半径が5/2内接円の半径が1/2のとき、b.cの値はそれぞれ何になるか。ただし、a≧b≧cとする。

お願いします!!🙏

解答

【解答】
a≧b≧cかつ直角三角形であることから
斜辺がaでありa²=b²+c²‥①が成り立つことが分かる。
内接円を利用した面積の公式S=(1/2)r(a+b+c)より
(1/2)bc=(1/2)(1/2)(a+b+c)‥②
外接円を引くと直角三角形の斜辺aは外接円の直径となることからa=2×(5/2)=5
aの値を①②に代入すると
b²+c²=25‥③
2bc=5+b+c‥④
この2式を連立して
b²+2bc+c²=25+5+b+c
(b+c)²=(b+c)+30
K²−K−30=0(K=b+c)
(K−6)(K+5)=0⇄b+c=6,−5
これを④に代入し解くとbc=11/2,0
(b+c,bc)=(6,11/2)(-5,0)
ここでY²−(b+c)Y+bc=0を利用する
【(6,11/2)の場合】
Y²−6Y+11/2=0
Y=3±√7/√2
b≧cより(b,c)=(3+√7/√2, 3−√7/√2)
【(-5,0)の場合】
Y²+5Y=0となりYの値が0以下となるので不適

よって 
(b,c)=(3+√7/√2, 3−√7/√2)
作問かな?いい問題でした✨

夏音さん

√7/√2は有理化しないほうが綺麗なのでそのままにしました!

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