Question

あかか

数2の定積分の範囲です。

緑のマーカーで印をつけている｢xはtに無関係であるから｣とはどういうことなのでしょう？？？
というか、この3問はなぜそうなるのかが最初から分かりません💦💦
教えてください！！🙇‍♂️

600 次の等式を満たす関数f(x) を求めよ。
15 MA
(80)
*(1) f(x)=3x-S₁f(t)dt (2) S(x)=x² +S₁xf(t) dt
(3)_ _ƒ(x)=x+S²(x+t)ƒ(t)dt

600 (1) Sof(t)dt=a とおくと
Sof(t)dt=S" (3t-a)dt
よって
ゆえに
したがって
2
ゆえに
6-2a=a
=
f(x)=3x-2
(2) xはtに無関係であるから
Sof(t)dt=a とおくと
よって
f(x)=x3+xf(t)dt
したがって
3
これを解いて
1/4+1/12 = a
-at-6-2a
これを解いて a=2
0
Sof(t)dt=S(n+at)dt
(t³
f(x)=3x-a
f(x)=x3+ax
a
-[+]=-4+1
2
f(x)=x+1/2/2x

る。
(3) xはtに無関係であるから
0
Sinar=a. Serinde bace
とおくと
f(x)=x+x) f(t)dt+tf(t
f(x)=x+ax+b
すなわち f(x)=(a+1)x+b ...... ①
£₂T_${f(t)}dt=Silla+1)t+b}dt
よって
601
ゆえに 1/28+0+/1/2=1
整理して
a-26=1
また
=[a+
2
f'l
= a +¹ +b=a+b+
=-
2
=
d cx
S₁tf(t)dt = {(a + 1)t² + bt}dt
a+1
b
2/1²]
3
-t² + bt
=
ゆえに
整理して 2a-3b=-2
②,③から
これらを①に代入して
b
= 4+1 +420
3
a
b
13/12 + 12/1/2+1/3/13 = 6
-t²³ +
b
9/4+1/12/2
+
10
13
a=-7, b=-4
b+ 1/12
f(x) = -6x-4

定積分

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ブドウくん

確かに最初は難しいと思いますが、積分と一言に言っても、2種類文字があるので「どの文字についての積分か」というのをはっきりさせないといけません。例えば、y=6ax²の不定積分は、xについての積分
∫(6ax²) dx　であれば　2ax³ +Cとなりますが
aについての積分
∫(6x²a) da であれば　3x²a²+Cとなります。
つまり、今積分している変数が何なのかを考えてやると、それ以外は定数扱いできるということです。

(2)の右辺第二項 ∫xf(t)dt はdtとあるように、tについての積分です。（積分範囲を書くと見にくくなるので省略しました）
なので、xは無関係な定数として見ることができるので、積分の外に出ていってもらうことが可能なわけです。文字であろうと数字であろうと定数を前に出しているだけなので、2x³の積分をするときに2は前に出せるよというのと何も変わりません。
注意しないといけないのは、積分変数がtだからといっても、右辺全体としてはxの関数だということです。左辺がf(x)と書いてあるので当然といえば、当然ですが、そこの混乱はしていませんか？今までの定積分を思い出して貰えればわかると思いますが、定積分というのはいかつい見た目でも計算したら結局は単なる数字、すなわち定数が答えになります。だから、積分変数がtだとしても積分してしまったら単なる数字なわけだから、わかりやすくするために文字定数aやbなんかで置いているんです。

丁寧に説明したと思っていますが、何かわからないことがあれば聞いてください。

あかか

なるほど！！！！！！！
xやらtやらが出てきて混同して考えてたみたいです💦何についての積分かをちゃんと見分けれるようにします！！
いろいろとスッキリしました！ありがとうございました🙇‍♂️🙇‍♂️🙇‍♂️

Answer 2

かきつばた

tで積分する時、他の文字は数字として見るのね
そうすると、xは係数扱いになるから前に出せる

あかか

なるほど！
xはtに無関係であるということは、そういうことだったんですね！！
助かりましたありがとうございました😭